El problema de Monty Hall: análisis por casos y actualización de probabilidades
Respuesta rápida
Cambiar de puerta da P=\frac{2}{3}; no cambiar da P=\frac{1}{3}. Conviene cambiar.
Solución — Página 75
Colección Nanahuatzin. Múltiples lenguajes. Libro de Educación Telesecundaria Grado 3° Ciclo Escolar 2025 - 2026
Análisis del problema de Monty Hall
El texto corrige el razonamiento intuitivo: el presentador no abre al azar, sabe dónde está el coche y siempre abre una puerta con cabra. Eso cambia las probabilidades.
Caso 1
El coche está en la puerta 3 (la elegida).
- El presentador puede abrir la puerta 1 o la 2 (ambas tienen cabra).
- Si cambias, eliges una puerta con cabra: PIERDES.
- Si no cambias, conservas el coche: GANAS.
Caso 2
El coche está en la puerta 2.
- El presentador no puede abrir la 2 (tiene coche) ni la 3 (la elegiste tú), así que abre la 1.
- Si cambias a la 2, obtienes el coche: GANAS.
- Si no cambias, sigues en la 3 con cabra: PIERDES.
Caso 3
El coche está en la puerta 1.
- El presentador no puede abrir la 1 (coche) ni la 3 (tu elección), así que abre la 2.
- Si cambias a la 1, obtienes el coche: GANAS.
- Si no cambias, sigues en la 3 con cabra: PIERDES.
Conteo de resultados
De los 3 casos equiprobables:
- Cambiar de puerta: ganas en 2 de 3 casos → P(\text{ganar})=\frac{2}{3}.
- No cambiar: ganas en 1 de 3 casos → P(\text{ganar})=\frac{1}{3}.
P(\text{ganar al cambiar})=\frac{2}{3} > \frac{1}{3}=P(\text{ganar sin cambiar})
Respuesta: conviene cambiar de puerta; la probabilidad de ganar pasa de \frac{1}{3} a \frac{2}{3}.
Contenido de la página
Sin embargo, este razonamiento es incorrecto porque no estamos tomando en cuenta algo muy importante: el presentador, cuando abre una de las puertas, sabe el contenido que hay detrás. Es decir, no abre las puertas al azar, sino que abre aquella que tiene la fotografía de una cabra y, esa información, es fundamental porque está actualizando las probabilidades.
Veámoslo de una manera simple.
Recuerda que elegiste la puerta 3, pero no importa cuál se escoja, el razonamiento será el mismo.
Caso 1
- Si el coche está en la puerta 3, que es la que elegiste, el presentador abrirá la puerta 1 o la 2.
- Si cambias de puerta, PIERDES. Pero si no cambias, GANAS.
Caso 2
- Si el coche está en la puerta 2, el presentador abrirá la puerta 1, ya que la puerta 3 la elegiste tú.
- Si cambias de puerta, GANAS. Pero si no cambias, PIERDES.
Caso 3
- Si el coche está en la puerta 1, el presentador abrirá la puerta 2, ya que tú escogiste la puerta 3.
- Si cambias de puerta, GANAS. Pero si no cambias, PIERDES.
| Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | CAMBIAS | NO CAMBIAS | |
|---|---|---|---|---|---|
| CASO 1 | cabra | cabra | coche | PIERDES | GANAS |
| CASO 2 | cabra | coche | cabra | GANAS | PIERDES |
| CASO 3 | coche | cabra | cabra | GANAS | PIERDES |
Ejemplos resueltos
Se elige la puerta 3. El presentador abre una puerta con cabra. ¿Conviene cambiar?
Se analizan los 3 casos según dónde esté el coche. Al cambiar se gana en 2 de 3 casos: P=\frac{2}{3}. Sin cambiar se gana en 1 de 3: P=\frac{1}{3}. Conviene cambiar.
Tabla
| Puerta 1 | Puerta 2 | Puerta 3 | CAMBIAS | NO CAMBIAS | |
|---|---|---|---|---|---|
| CASO 1 | cabra | cabra | coche | PIERDES | GANAS |
| CASO 2 | cabra | coche | cabra | GANAS | PIERDES |
| CASO 3 | coche | cabra | cabra | GANAS | PIERDES |
Diagrama
flowchart TD
A[Eliges puerta 3] --> B{¿Dónde está el coche?}
B -->|Caso 1: puerta 3| C[Presentador abre 1 o 2]
C --> D[Cambiar: PIERDES]
C --> E[No cambiar: GANAS]
B -->|Caso 2: puerta 2| F[Presentador abre 1]
F --> G[Cambiar: GANAS]
F --> H[No cambiar: PIERDES]
B -->|Caso 3: puerta 1| I[Presentador abre 2]
I --> J[Cambiar: GANAS]
I --> K[No cambiar: PIERDES]
Fórmulas y ecuaciones
P(\text{evento})=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}
P(\text{ganar al cambiar})=\frac{2}{3}
P(\text{ganar sin cambiar})=\frac{1}{3}
Glosario (4)
- Probabilidad
- Medida numérica entre 0 y 1 de la posibilidad de que ocurra un evento.
- Actualizar probabilidades
- Recalcular la probabilidad de un evento cuando se recibe información nueva.
- Caso equiprobable
- Situación posible que tiene la misma probabilidad de ocurrir que las demás.
- Espacio muestral
- Conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Preguntas para practicar
¿Por qué el hecho de que el presentador sepa lo que hay detrás de las puertas cambia las probabilidades?
Porque su elección no es aleatoria: siempre evita la puerta con el coche y la que tú elegiste. Esa información reduce el espacio de posibilidades y concentra la probabilidad de ganar en la puerta que queda cerrada, elevándola de $\frac{1}{3}$ a $\frac{2}{3}$.
Temas y conceptos clave
Figuras de la página (2)
Preguntas que la gente también hace
¿Por qué conviene cambiar de puerta en el problema de Monty Hall?
¿Qué diferencia hay entre elegir al azar y saber lo que hay detrás de las puertas?
¿Cómo se calcula la probabilidad de ganar al cambiar de puerta?
- • Fracciones y comparación de fracciones
- • Noción de evento equiprobable
- • Cálculo básico de probabilidad como casos favorables entre casos posibles
📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 1384 caracteres
Sin embargo, este razonamiento es incorrecto porque no estamos tomando en cuenta algo muy importante: el presentador, cuando abre una de las puertas, sabe el contenido que hay detrás. Es decir, no abre las puertas al azar, sino que abre aquella que tiene la fotografia de una cabra y, esa información, es fundamental porque está actualizando lasprobabilidades.
Veámoslo de una manera simple.
Recuerda que elegiste la puerta 3, pero no importa cuál se escoja, el razonamiento será el mismo.
Caso 1
Si el coche está en la puerta 3, que es la que elegiste,el presentador abrirá la puerta 1 o la 2.
• Si cambias de puerta, PIERDEs. Pero si no cambias,GANAS.
Caso 2
· Si el coche está en la puerta 2, el presentador abrirála puerta 1, ya que la puerta 3 la elegiste tú.
• Si cambias de puerta, GANAs. Pero si no cambias,PIERDES.
Caso3
• Si el coche está en la puerta 1, el presentador abrirála puerta 2, ya que tu escogiste la puerta 3.
· Si cambias de puerta, GANAs. Pero si no cambias,PIERDES.
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| SYNVS SVVS | E 20 | ||
| SVNVS | Puerta 2 Puerta 1 | CASO1 | |
| NO CAMBIAS | CAMBIAS | Puerta 3 |
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