Esta página no presenta ejercicios numerados: es una tabla metodológica que muestra cómo formular preguntas para conducir el ciclo de indagación en matemática (entender las tareas, simplificar el problema real y matematizarlo). Por eso se responden aquí, de forma orientativa, las preguntas de la tabla y se muestran los modelos matemáticos que las sustentan.
Paso 1. Entender las tareas
¿Cuáles son las características de un vaso?
Un vaso se describe con: forma (tronco de cono, cilindro o cono), radio de la boca R, radio de la base r, altura h, generatriz g y espesor del material. El material suele ser una plancha circular de cartón o plástico, por lo que interesa el área de esa plancha.
¿Cuáles son las alturas usuales que tienen los vasos?
En vasos desechables las alturas típicas están entre 7\,\text{cm} y 12\,\text{cm}; los vasos de 8\,\text{cm} a 10\,\text{cm} son los más comunes, con diámetros de boca entre 6\,\text{cm} y 9\,\text{cm}.
¿Existe una relación entre la base del vaso y la altura que permita determinar el volumen adecuado?
Sí. Para un cuerpo de revolución, el volumen depende del radio y de la altura: V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h en un cono y V=\pi r^{2}h en un cilindro. A mayor radio de base, el volumen crece al cuadrado; a mayor altura, crece linealmente.
¿Cómo se calcula el área de la plancha de cartón?
El vaso se construye a partir de un sector circular (el desarrollo lateral) más el círculo de la base:
A_{\text{plancha}}=A_{\text{lateral}}+A_{\text{base}}=\pi r g+\pi r^{2}
con g=\sqrt{r^{2}+h^{2}} la generatriz.
¿Qué partes del vaso debemos considerar para plantear la capacidad máxima que podría contener?
El volumen interior, es decir, el radio interior de la boca, el de la base y la altura útil (sin el borde superior). El espesor del material se descuenta para obtener la capacidad real.
Paso 2. Simplificar el problema real a un modelo real
¿Qué aspectos del diseño del vaso podemos simplificar sin afectar la cantidad de líquido que puede contener?
Se desprecia el espesor del cartón, se ignoran el borde reforzado, los relieves y las asas; se supone que la figura es un cuerpo de revolución perfecto. Estas simplificaciones afectan muy poco la capacidad calculada.
¿Es razonable suponer que la forma del vaso se mantiene sin distorsiones al ser fabricado a partir de una plancha circular?
No del todo: al curvar y pegar el cartón hay pequeñas deformaciones en el traslape, y el borde superior se enrolla. Sin embargo, la distorsión es menor frente a las dimensiones del vaso, por lo que la suposición es aceptable como modelo inicial y debe validarse midiendo con agua.
Paso 3. Matematizar el modelo real a un modelo matemático
¿Cuáles son las características de un cono?
Tiene una base circular de radio r, un vértice, una altura h y una generatriz g que cumplen:
g=\sqrt{r^{2}+h^{2}}
Su volumen es V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h y su área lateral A_{L}=\pi r g.
¿Cómo es su desarrollo?
El desarrollo lateral es un sector circular de radio g cuyo ángulo central es:
\alpha=360^{\circ}\cdot\frac{r}{g}
Al que se añade el círculo de la base de área \pi r^{2}.
¿Cuál es la ventaja de su desarrollo respecto a otros diseños?
El desarrollo cónico aprovecha casi toda la plancha circular, genera menos desperdicio, es estable al apoyarse y apilable; el cilindro exige más material para igual volumen útil.
¿Cuánto material se empleará en un vaso?
A=\pi r g+\pi r^{2}=\pi r\left(\sqrt{r^{2}+h^{2}}+r\right)
Ejemplo con r=3\,\text{cm} y h=9\,\text{cm}: g=\sqrt{9+81}=\sqrt{90}\approx 9{,}49\,\text{cm} y A=\pi(3)(9{,}49+3)\approx 117{,}7\,\text{cm}^{2}.
¿Cuánto será el volumen y la capacidad de un cono?
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi(3)^{2}(9)=\frac{1}{3}\pi(81)=27\pi\approx 84{,}8\,\text{cm}^{3}
Como 1\,\text{cm}^{3}=1\,\text{mL}, la capacidad es de aproximadamente 84{,}8\,\text{mL}.
Respuesta orientativa: el modelo matemático del vaso es un cono (o tronco de cono) con V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h y desarrollo lateral de sector circular \alpha=360^{\circ}\frac{r}{g}; con r=3\,\text{cm} y h=9\,\text{cm} se usan 117{,}7\,\text{cm}^{2} de cartón y caben 84{,}8\,\text{mL}.
