Tramo 4: del modelo matemático a los resultados matemáticos (muros de botellas)

¿Cuál es el tamaño exacto de las botellas? ¿Podríamos estimarlo?, ¿cómo?

1. Las magnitudes útiles son el diámetro de la base d y la altura h, porque con ellas se calculan las botellas por fila y el número de filas.
2. No hay un tamaño "exacto" único: cada marca de botella PET de 1\,\text{L} varía. Se trabaja con un valor representativo de una muestra.
3. Estimación de d sin vernier: se enrolla un cordel alrededor de la botella, se mide el perímetro P con una regla y se despeja d=\frac{P}{\pi}.
4. Ejemplo: si P=27\,\text{cm}, entonces d=\frac{27}{3{,}1416}\approx 8{,}6\,\text{cm}.
5. La altura se mide directamente con regla; se repite con 10 botellas y se promedia.

¿Cuánta arena necesitaremos? (2000 botellas de un litro podrían requerir de 2 a 3 toneladas, ¿por qué?)

1. Volumen de cada botella: 1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^{3}.
2. Densidad aparente de la arena seca suelta: \rho\approx 1{,}4\text{ a }1{,}6\,\text{g/cm}^{3}; si está compactada llega a 1{,}8\,\text{g/cm}^{3}.
3. Masa por botella: m=\rho V=1{,}5\,\text{g/cm}^{3}\times 1000\,\text{cm}^{3}=1500\,\text{g}=1{,}5\,\text{kg}.
4. Masa total: m_{T}=2000\times 1{,}5\,\text{kg}=3000\,\text{kg}=3\,\text{t}.
5. Con arena más suelta o botellas no llenas del todo: 2000\times 1{,}0\,\text{kg}=2000\,\text{kg}=2\,\text{t}.

Diseñar un plano adecuado para la construcción de las paredes.

1. Medir el perímetro del terreno y decidir la longitud L y la altura H de cada pared.
2. Elegir la disposición de las botellas (Figura A o Figura B) y fijar d y h.
3. Calcular botellas por fila: N_{fila}=\left\lfloor \frac{L}{d}\right\rfloor; filas: N_{alto}=\left\lfloor \frac{H}{h}\right\rfloor (o \frac{H}{0{,}866\,d} en el encaje hexagonal).
4. Dibujar planta y elevación a escala, con puertas y esquinas.

Calcula el total de botellas necesarias.

1. Fórmula del modelo: N_{total}=N_{fila}\times N_{alto}\times N_{paredes}.
2. Datos de ejemplo: L=300\,\text{cm}, H=240\,\text{cm}, d=9\,\text{cm}, h=30\,\text{cm}, 3 paredes.
3. Botellas por fila: N_{fila}=\frac{300}{9}=33{,}3\rightarrow 33 (ocupan 33\times 9=297\,\text{cm}).
4. Filas de alto: N_{alto}=\frac{240}{30}=8.
5. Una pared: 33\times 8=264.
6. Tres paredes: 264\times 3=792.

Sin cemento: longitud de cada fila.

1. Las botellas se tocan, por lo que cada una aporta su diámetro.
2. Modelo: L=n\times d.
3. Ejemplo: n=33, d=9\,\text{cm}: L=33\times 9=297\,\text{cm}=2{,}97\,\text{m}.

Comparar la Figura A (sin cemento) y la Figura B (con cemento).

1. En A las botellas se encajan en arreglo hexagonal y se tocan, así que el espaciamiento vertical entre filas es d\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}866\,d.
2. En B cada fila lleva una capa de cemento, por lo que el espaciamiento vertical es h+c, con c el espesor del mortero.
3. A mayor espaciamiento, menos filas por metro de altura y mayor cantidad de cemento.