Tres cargas positivas +q y tres cargas negativas -q se alternan en los vértices de un hexágono regular de lado L; en el centro se coloca una carga +2q.
Dato geométrico clave: en un hexágono regular la distancia desde el centro hasta cualquier vértice es igual al lado:
r = L
Ley de Coulomb aplicada a cada par (vértice – centro):
F_i = k\,\frac{|Q_i\,q_0|}{r^{2}} = k\,\frac{(q)(2q)}{L^{2}} = \frac{2kq^{2}}{L^{2}}
Así, las seis cargas del hexágono ejercen, cada una, una fuerza de magnitud F = \dfrac{2kq^{2}}{L^{2}} sobre la carga central.
Gráfica con las cargas y los vectores de atracción y repulsión
Numeremos los vértices por su ángulo polar respecto al centro: 0^{\circ}, 60^{\circ}, 120^{\circ}, 180^{\circ}, 240^{\circ}, 300^{\circ}. Una distribución alternada posible es:
| Vértice | Ángulo | Carga | Naturaleza de la fuerza sobre +2q | Dirección del vector \vec{F} |
|---|---|---|---|---|
| V_1 | 0^{\circ} | +q | Repulsión | 180^{\circ} (opuesto al vértice) |
| V_2 | 60^{\circ} | -q | Atracción | 60^{\circ} (hacia el vértice) |
| V_3 | 120^{\circ} | +q | Repulsión | 300^{\circ} |
| V_4 | 180^{\circ} | -q | Atracción | 180^{\circ} |
| V_5 | 240^{\circ} | +q | Repulsión | 60^{\circ} |
| V_6 | 300^{\circ} | -q | Atracción | 300^{\circ} |
Cada par de vértices opuestos (+q y -q) produce dos vectores colineales y del mismo sentido:
F_{\text{par}} = 2F = \frac{4kq^{2}}{L^{2}}
Quedan, por lo tanto, tres vectores de igual magnitud 2F cuyas direcciones son 60^{\circ}, 180^{\circ} y 300^{\circ}, es decir, separadas 120^{\circ} entre sí.
flowchart TB
V1["V1 · 0° : +q<br/>repulsión"] -->|"F = 2kq²/L² → 180°"| C
C["CENTRO : +2q"]
V2["V2 · 60° : -q<br/>atracción"] -->|"F = 2kq²/L² → 60°"| C
V3["V3 · 120° : +q<br/>repulsión"] -->|"F = 2kq²/L² → 300°"| C
V4["V4 · 180° : -q<br/>atracción"] -->|"F = 2kq²/L² → 180°"| C
V5["V5 · 240° : +q<br/>repulsión"] -->|"F = 2kq²/L² → 60°"| C
V6["V6 · 300° : -q<br/>atracción"] -->|"F = 2kq²/L² → 300°"| C
En el papel cuadriculado se dibuja el hexágono regular, se marcan + y - alternados, se localiza el centro y se trazan los vectores: flechas salientes en los vértices con +q (repulsión) y flechas entrantes en los vértices con -q (atracción), todas de la misma longitud.
Magnitud de la fuerza resultante sobre el centro
Componentes según el eje x (tomando la dirección 0^{\circ} como eje positivo):
F_x = 2F\cos 60^{\circ} + 2F\cos 180^{\circ} + 2F\cos 300^{\circ}
F_x = 2F\left(\frac{1}{2}\right) + 2F(-1) + 2F\left(\frac{1}{2}\right) = F - 2F + F = 0
Componentes según el eje y:
F_y = 2F\sin 60^{\circ} + 2F\sin 180^{\circ} + 2F\sin 300^{\circ}
F_y = 2F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2F(0) + 2F\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0
El origen físico es la simetría: las tres resultantes de pares tienen igual magnitud y están a 120^{\circ} entre sí; vectores así equiespaciados se cancelan por completo (equivalente a un triángulo equilátero cerrado).
Respuesta: F_{\text{resultante}} = 0.
\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_x + \vec{F}_y = \vec{0} \qquad \Rightarrow \qquad |\vec{F}_{\text{res}}| = 0
¿Qué sucede si la carga central se cambia por $-2q$?
Se invierte el signo de la fuerza ejercida por cada vértice:
- Cargas +q del hexágono → atraen al centro negativo: el vector apunta hacia el vértice.
- Cargas -q del hexágono → repelen al centro negativo: el vector apunta en sentido opuesto al vértice.
La magnitud individual no cambia:
F_i = k\,\frac{(q)(2q)}{L^{2}} = \frac{2kq^{2}}{L^{2}}
Solo se invierten los sentidos: cada par ahora da 2F en la dirección opuesta, de modo que se obtienen tres vectores de magnitud 2F a 120^{\circ} entre sí, solo que girados 180^{\circ} respecto al caso anterior.
F_x = -2F\cos 60^{\circ} - 2F\cos 180^{\circ} - 2F\cos 300^{\circ} = 0
F_y = -2F\sin 60^{\circ} - 2F\sin 180^{\circ} - 2F\sin 300^{\circ} = 0
la fuerza neta sigue siendo cero: cada vector invierte su dirección, pero la distribución continua siendo simétrica y las fuerzas se cancelan. La carga central permanecería en reposo (sin resultante neta), como en el caso anterior.
