Establecer el modelo geométrico (sistema de coordenadas y distancias) del conjunto de cinco cargas sobre el prisma rectangular, como base para resolver las actividades de la página siguiente.

q_1(0,0,0); q_5(1,0,0); q_2(0,0,4); q_3(1,0,4); q_4(1,2,0) en metros

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Simulación de cinco cargas en un prisma rectangular: modelo y datos

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Carga total $Q_T=-110\,\mu\text{C}$ ; $F_{15}=3{,}60\,\text{N}$ (repulsiva); campo en el centro de la base $E_C\approx 5{,}4\times10^{5}\,\text{N/C}$ . Las actividades del enunciado se resuelven en la pág. 131.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 130

Fisica 1° · 2024

Enunciado del problema (página 129)

En un laboratorio de física se realizan simulaciones para conocer el comportamiento de cargas eléctricas en el espacio. Se colocan cinco cargas que representan un prisma rectangular, con:

$q_{1}=+40\,\mu\text{C};\quad q_{2}=+60\,\mu\text{C};\quad q_{3}=-100\,\mu\text{C};\quad q_{4}=-120\,\mu\text{C};\quad q_{5}=+10\,\mu\text{C}$

Medidas del prisma: $a=100\,\text{cm}=1\,\text{m}$ , $b=2a=200\,\text{cm}=2\,\text{m}$ y $h=400\,\text{cm}=4\,\text{m}$ .

Nota: las actividades específicas a resolver se presentan en la página siguiente (pág. 131); aquí se deja el modelo y las operaciones de orientación que sustentan cualquier ejercicio sobre este enunciado.

Paso 1. Modelo geométrico y sistema de coordenadas

Se elige el origen en $q_{1}$ . Desde la figura (vista oblicua), $q_{5}$ está a lo largo de la dimensión $a$ ; $q_{2}$ y $q_{3}$ sobre la cara superior, separados por $a$ ; y $q_{4}$ desplazado en la profundidad $b$ respecto de $q_{5}$ , sobre la base inferior:

Carga	Posición $(x,y,z)$ en metros
$q_{1}=+40\,\mu\text{C}$	$(0,0,0)$
$q_{5}=+10\,\mu\text{C}$	$(1,0,0)$
$q_{2}=+60\,\mu\text{C}$	$(0,0,4)$
$q_{3}=-100\,\mu\text{C}$	$(1,0,4)$
$q_{4}=-120\,\mu\text{C}$	$(1,2,0)$

Paso 2. Unidades SI

$q_{1}=+40\times10^{-6}\,\text{C},\ q_{2}=+60\times10^{-6}\,\text{C},\ q_{3}=-100\times10^{-6}\,\text{C},\ q_{4}=-120\times10^{-6}\,\text{C},\ q_{5}=+10\times10^{-6}\,\text{C}$

Paso 3. Carga total del sistema (balance de carga)

$Q_{T}=q_{1}+q_{2}+q_{3}+q_{4}+q_{5}=(40+60-100-120+10)\,\mu\text{C}=-110\,\mu\text{C}$

El sistema resulta negativo: hay más carga negativa que positiva, lo que implica campo neta dirigido hacia el conjunto de cargas negativas ( $q_{3}$ y $q_{4}$ ).

Paso 4. Distancias entre las cargas

Aplicando $r=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2}}$ :

Par	Cálculo	Distancia
$q_{1}$ – $q_{5}$	$a$	$1{,}00\,\text{m}$
$q_{2}$ – $q_{3}$	$a$	$1{,}00\,\text{m}$
$q_{5}$ – $q_{4}$	$b$	$2{,}00\,\text{m}$
$q_{1}$ – $q_{2}$	$h$	$4{,}00\,\text{m}$
$q_{3}$ – $q_{5}$	$h$	$4{,}00\,\text{m}$
$q_{1}$ – $q_{4}$	$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{5}$	$2{,}24\,\text{m}$
$q_{1}$ – $q_{3}$ , $q_{2}$ – $q_{5}$	$\sqrt{a^{2}+h^{2}}=\sqrt{17}$	$4{,}12\,\text{m}$
$q_{3}$ – $q_{4}$	$\sqrt{b^{2}+h^{2}}=\sqrt{20}$	$4{,}47\,\text{m}$
$q_{2}$ – $q_{4}$	$\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}=\sqrt{21}$	$4{,}58\,\text{m}$

Paso 5. Ley de Coulomb en un par de referencia

Para la fuerza mutua entre $q_{1}$ y $q_{5}$ (separadas por $r=a=1\,\text{m}$ ):

$F_{15}=k\frac{|q_{1}||q_{5}|}{r^{2}}=(8{,}99\times10^{9})\frac{(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{1^{2}}=3{,}60\,\text{N}$

Como ambas son positivas, la fuerza es repulsiva: $q_{1}$ empuja a $q_{5}$ hacia $+x$ y $q_{5}$ empuja a $q_{1}$ hacia $-x$ .

Paso 6. Campo eléctrico en el centro de la base (cálculo orientativo)

Sea $C=(0{,}5;1;0)\,\text{m}$ el centro de la base $a\times b$ . Magnitud de cada campo con $E=k|q|/r^{2}$ :

$E_{1}=\frac{(8{,}99\times10^{9})(40\times10^{-6})}{(1{,}118)^{2}}=2{,}88\times10^{5}\,\text{N/C}\quad(r^{2}=1{,}25)$

$E_{5}=7{,}19\times10^{4}\,\text{N/C},\qquad E_{4}=8{,}63\times10^{5}\,\text{N/C}\quad(r^{2}=1{,}25)$

$E_{2}=\frac{(8{,}99\times10^{9})(60\times10^{-6})}{17{,}25}=3{,}13\times10^{4}\,\text{N/C},\qquad E_{3}=\frac{(8{,}99\times10^{9})(100\times10^{-6})}{17{,}25}=5{,}21\times10^{4}\,\text{N/C}$

Resolución vectorial (los campos de las cargas negativas $q_{3}$ y $q_{4}$ apuntan hacia ellas; los de las positivas, en dirección alejándose):

$E_{x}=2{,}99\times10^{5}\,\text{N/C},\qquad E_{y}=4{,}45\times10^{5}\,\text{N/C},\qquad E_{z}=2{,}01\times10^{4}\,\text{N/C}$

$E_{C}=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}+E_{z}^{2}}=\sqrt{(2{,}99\times10^{5})^{2}+(4{,}45\times10^{5})^{2}+(2{,}01\times10^{4})^{2}}=5{,}37\times10^{5}\,\text{N/C}$

Dirección: $\alpha=\arccos\!\left(\frac{E_x}{E}\right)=56{,}1^{\circ}$ respecto de $x$ , $\beta=34{,}0^{\circ}$ respecto de $y$ y $\gamma=87{,}9^{\circ}$ respecto de $z$ ; el campo resultante se dirige preferentemente hacia el par de cargas negativas, en el plano $z\approx 0$ .

Respuesta (orientativa): carga total $-110\,\mu\text{C}$ ; $F_{15}=3{,}60\,\text{N}$ (repulsiva); campo resultante en el centro de la base $E_{C}\approx 5{,}4\times10^{5}\,\text{N/C}$ .

Contenido de la página

4. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un laboratorio de física se realizan simulaciones para conocer el comportamiento de cargas eléctricas en el espacio. Para ello, es necesario predecir su movimiento a fin de entregar un estimado a los matemáticos para generar un modelo que entre en funcionamiento.

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prisma rectangular, sabiendo que las cargas son:

$q_{1}=+40\,\mu\text{C};\quad q_{2}=+60\,\mu\text{C};\quad q_{3}=-100\,\mu\text{C};\quad q_{4}=-120\,\mu\text{C};\quad q_{5}=+10\,\mu\text{C}$

las medidas de la base del prisma son $a=100\,\text{cm}$ ; $b=2a$ , y $h=400\,\text{cm}$ .

Figura: vista oblicua del prisma con las cinco esferas cargadas: $+q_{1}$ (base, esquina inferior izquierda), $+q_{5}$ (base, separada de $q_{1}$ por $a$ ), $+q_{2}$ (cara superior, sobre $q_{1}$ a altura $h$ ), $-q_{3}$ (cara superior, sobre $q_{5}$ ) y $-q_{4}$ (base, desplazada en la profundidad $b$ respecto de $q_{5}$ ).

Fuente: https://n9.cl/6ricrz

Texto de Física — pág. 129

Ejemplos resueltos

Calcular la fuerza eléctrica mutua entre $q_{1}=+40\,\mu\text{C}$ y $q_{5}=+10\,\mu\text{C}$ , separadas por $a=100\,\text{cm}$ .

Convertir: $r=a=1\,\text{m}$ ; $q_{1}=40\times10^{-6}\,\text{C}$ ; $q_{5}=10\times10^{-6}\,\text{C}$ .
Ley de Coulomb: $F=k\dfrac{|q_{1}||q_{5}|}{r^{2}}=(8{,}99\times10^{9})\dfrac{(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{1^{2}}$ .
$F=8{,}99\times10^{9}\times4{,}0\times10^{-10}=3{,}60\,\text{N}$ , fuerza repulsiva por ser ambas cargas positivas.

Determinar la carga total del sistema de cinco cargas del prisma.

Sumar algebraicamente: $Q_T=40+60-100-120+10$ .
$Q_T=-110\,\mu\text{C}$ .
El sistema es de carga neta negativa: el campo resultante predominante apunta hacia las cargas $q_{3}$ y $q_{4}$ .

Tablas (2)

Carga	Valor (μC)	Valor (C)	Posición (m)
$q_1$	+40	$+40\times10^{-6}$	$(0,0,0)$
$q_2$	+60	$+60\times10^{-6}$	$(0,0,4)$
$q_3$	−100	$-100\times10^{-6}$	$(1,0,4)$
$q_4$	−120	$-120\times10^{-6}$	$(1,2,0)$
$q_5$	+10	$+10\times10^{-6}$	$(1,0,0)$

Par de cargas	Distancia
$q_1$ – $q_5$	$a$	$1{,}00\,\text{m}$
$q_2$ – $q_3$	$a$	$1{,}00\,\text{m}$
$q_5$ – $q_4$	$b$	$2{,}00\,\text{m}$
$q_1$ – $q_2$	$h$	$4{,}00\,\text{m}$
$q_3$ – $q_5$	$h$	$4{,}00\,\text{m}$
$q_1$ – $q_4$	$\sqrt{a^2+b^2}$	$2{,}24\,\text{m}$
$q_1$ – $q_3$	$\sqrt{a^2+h^2}$	$4{,}12\,\text{m}$
$q_2$ – $q_5$	$\sqrt{a^2+h^2}$	$4{,}12\,\text{m}$
$q_3$ – $q_4$	$\sqrt{b^2+h^2}$	$4{,}47\,\text{m}$
$q_2$ – $q_4$	$\sqrt{a^2+b^2+h^2}$	$4{,}58\,\text{m}$

Diagrama

flowchart TD
  A[Prisma rectangular] --> B[Base a = 100 cm]
  A --> C[Base profunda b = 2a = 200 cm]
  A --> D[Altura h = 400 cm]
  B --> E[Distancias entre cargas]
  C --> E
  D --> F[Ley de Coulomb y campo eléctrico]
  E --> F
  F --> G[Modelo para predecir el movimiento de las cargas]

Fórmulas y ecuaciones

$F = k\dfrac{|q_{1}||q_{2}|}{r^{2}}$ con $k=8{,}99\times10^{9}\,\text{N·m}^{2}/\text{C}^{2}$

$E = k\dfrac{|q|}{r^{2}}$ (campo eléctrico de una carga puntual)

$Q_T = \sum q_i$ (carga total de un sistema)

$Q_T$ = $q_1$ + $q_2$ + $q_3$ + $q_4$ + $q_5$ = $-110\,\mu$ $\text{C}$

r = $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

F = k $\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$

E = k $\frac{|q|}{r^2}$

$\vec{E}$ = $\sum_i$ $\vec{E}$ $_i,\qquad$ E = $\sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2}$

b = 2a = $200\$ , $\text{cm}$

Glosario (5)

Carga puntual: Carga eléctrica concentrada en un punto del espacio, con dimensiones despreciables frente a las distancias que intervienen en el problema.
Prisma rectangular: Sólido de dos bases rectangulares idénticas y paralelas, unidas por caras laterales rectangulares; se define por dos lados de la base (a y b) y la altura (h).
Campo eléctrico: Vector que describe la fuerza por unidad de carga que experimentaría una carga de prueba positiva colocada en un punto del espacio; se mide en N/C.
Principio de superposición: El campo eléctrico total en un punto es la suma vectorial de los campos individuales producidos por cada carga.
Microcoulomb: Unidad de carga eléctrica igual a una millonésima parte de un coulomb: $1\,\mu\text{C}=10^{-6}\,\text{C}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué es indispensable convertir las medidas del prisma a metros y las cargas a coulombs antes de calcular?

Porque la constante de Coulomb $k=8{,}99\times10^{9}\,\text{N·m}^{2}/\text{C}^{2}$ está expresada en unidades SI. Si se usan centímetros y microcoulombs sin convertir, el resultado de la fuerza o del campo queda en una unidad incorrecta y se cometen errores de hasta $10^{10}$ en la magnitud, ya que $1\,\text{m}=100\,\text{cm}$ y $1\,\mu\text{C}=10^{-6}\,\text{C}$.

¿Qué información aporta el hecho de que la carga total del sistema sea negativa?

Indica que el exceso de carga negativa (en $q_{3}$ y $q_{4}$) domina sobre la positiva; por tanto, un campo resultante neta producirá fuerzas atractivas sobre cargas de prueba positivas colocadas lejos del sistema, y las partículas positivas liberadas en el laboratorio tenderán a moverse hacia las zonas donde están $q_{3}$ y $q_{4}$.

¿Cómo afectaría al problema que el prisma fuera un cubo perfecto ($a=b=h$)?

Se simplificarían los cálculos porque todas las aristas tendrían la misma longitud y muchas distancias entre cargas coincidirían ($r=a$, $r=a\sqrt{2}$, $r=a\sqrt{3}$), lo que aumentaría la simetría y facilitaría la superposición de campos; además, las fuerzas sobre cargas simétricas podrían anularse parcialmente.

Temas y conceptos clave

Simulación del comportamiento de cargas eléctricas en el espacioModelado geométrico de un sistema de cargas en un prisma rectangularLey de Coulomb y superposición de camposcarga puntualprisma rectangularley de Coulombcampo eléctricosuperposición de campossistema de coordenadasdistancia entre cargasbalance de carga

Fuentes y referencias

https://n9.cl/6ricrz

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Figuras de la página (1)

Vista oblicua en perspectiva de un prisma rectangular representado con líneas punteadas. Sobre él se ubican cinco esferas verdes cargadas: +q2 (cara superior izquierda), -q3 (cara superior derecha), +q1 (base inferior izquierda), +q5 (base inferior, separada de q1 por la dimensión a) y -q4 (base, desplazada en la profundidad b). Cada esfera tiene pequeñas líneas radiantes que sugieren campo o interacción eléctrica. Rotulados 'a', 'b' y 'h' las dimensiones del prisma. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales?

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¿Qué es el campo eléctrico y en qué unidades se mide?

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¿Cómo se determina la carga total de un sistema de cargas?

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¿Por qué se deben convertir los centímetros a metros en problemas eléctricos?

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📌 Antes de leer esto

• Cálculo de distancias en tres dimensiones con Pitágoras
• Conversión de unidades (cm → m, μC → C)
• Ley de Coulomb y dirección de las fuerzas eléctricas
• Suma de vectores y componentes

Siguiente tema sugerido

Actividades de la página 131: fuerza y campo resultante sobre las cinco cargas del prisma (uso de superposición de campos y de la ley de Coulomb en 3D).

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 648 caracteres

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prima rectangular, sabiendo que las cargas son: q, =+40 uC; q, =+60 uC; q, =-100 pC; q, =-120 UC; q ¿ =10pC , las medidas de la base del prisma son a=100 cm; b=2a, y de h=400 cm.

Fuente: httpsi/In9.cl/Grierz

Texto de Física

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