Realiza una gráfica representativa de la situación con las cargas q_1=+120 en P_1(-5,0), q_2=-60 en P_2(5,0), q_3=-120 en P_3(0,4), y dibuja las fuerzas que actúan sobre cada carga.

F_1=3,12 i+1,98 j N; F_2=0,59 i-0,99 j N; F_3=-3,70 i-0,99 j N

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Campo eléctrico, potencial y energía en un sistema de tres cargas puntuales

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Respuesta rápida

a) Gráfica con q₁=+120 µC en (-5,0), q₂=-60 µC en (5,0), q₃=-120 µC en (0,4) y fuerzas resultantes: q₁(3,12 î +1,98 ĵ N), q₂(0,59 î -0,99 ĵ N), q₃(-3,70 î -0,99 ĵ N). b) $\vec{E}$ _O=(6,48×10⁴ î + 6,75×10⁴ ĵ) N/C (9,36×10⁴ N/C a 46,2°). c) $V_O=-1,62\times10⁵$ V. d) W≈0,25 J.

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Solución — Página 127

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 2

Se colocan tres cargas puntuales: $q_{1}=+120\,\mu\text{C}$ en $P_{1}(-5,0)$ , $q_{2}=-60\,\mu\text{C}$ en $P_{2}(5,0)$ y $q_{3}=-120\,\mu\text{C}$ en $P_{3}(0,4)$ , todo en metros. Se usa $k=9\times10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ .

Parte 2.a

Gráfica representativa y fuerzas

Se traza el plano $x\text{-}y$ : $P_{1}$ a la izquierda del origen (carga positiva, 120 µC), $P_{2}$ a la derecha (carga negativa, −60 µC) y $P_{3}$ sobre el eje $y$ (carga negativa, −120 µC). En el origen se dibuja el vector campo resultante apuntando al primer cuadrante.

Las fuerzas de Coulomb entre pares se obtienen con $F=k\dfrac{|q_{i}q_{j}|}{r^{2}}$ :

$F_{12}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}\cdot 60\times10^{-6}}{10^{2}}=0{,}648\,\text{N}$ (atractiva, sobre $q_{1}$ apunta hacia $q_{2}$ : $+x$ ).
$F_{13}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}\cdot 120\times10^{-6}}{41}=3{,}16\,\text{N}$ (atractiva, dirección $P_{1}\to P_{3}$ : vector $\vec{r}=(5,4)$ , $|\vec r|=\sqrt{41}=6{,}40\,\text{m}$ ).
$F_{23}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{60\times10^{-6}\cdot 120\times10^{-6}}{41}=1{,}58\,\text{N}$ (repulsiva, ambos signos negativos).

Resultado de las fuerzas resultantes sobre cada carga:

Carga	$F_x$ (N)	$F_y$ (N)
$q_{1}$	$+3{,}12$	$+1{,}98$
$q_{2}$	$+0{,}59$	$-0{,}99$
$q_{3}$	$-3{,}70$	$-0{,}99$

La suma vectorial de las tres fuerzas es nula, como exige la tercera ley de Newton.

Parte 2.b

Campo eléctrico en el origen

El campo de cada carga en el origen (a $5\,\text{m}$ de $q_1$ y $q_2$ , y a $4\,\text{m}$ de $q_3$ ) es $\vec E_i=k\dfrac{q_i}{r_i^{2}}\hat{r}_i$ :

$E_{1}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}}{5^{2}}=43{,}2\times10^{3}\,\text{N/C}$ , hacia $+x$ (la carga $q_{1}>0$ repele el campo en el origen).
$E_{2}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{60\times10^{-6}}{5^{2}}=21{,}6\times10^{3}\,\text{N/C}$ , también hacia $+x$ (el campo de $q_{2}<0$ se dirige hacia ella, es decir, hacia $+x$ ).
$E_{3}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}}{4^{2}}=67{,}5\times10^{3}\,\text{N/C}$ , hacia $+y$ .

Sumando componentes:

$\vec{E}_{O}=E_{1}\hat{i}+E_{2}\hat{i}+E_{3}\hat{j}=(43{,}2+21{,}6)\times10^{3}\,\hat{i}+67{,}5\times10^{3}\,\hat{j}$

$\boxed{\vec{E}_{O}=\left(6{,}48\times10^{4}\,\hat{i}+6{,}75\times10^{4}\,\hat{j}\right)\ \text{N/C}}$

Módulo y dirección:

$|\vec{E}_{O}|=\sqrt{(6{,}48\times10^{4})^{2}+(6{,}75\times10^{4})^{2}}=9{,}36\times10^{4}\,\text{N/C}$

$\theta=\arctan\left(\frac{67{,}5}{64{,}8}\right)=\arctan(1{,}04)\approx46{,}2^{\circ}\ \text{sobre el eje }+x$

Parte 2.c

Potencial eléctrico en el origen

El potencial es escalar: $V_{O}=k\displaystyle\sum\frac{q_{i}}{r_{i}}$ .

$V_{1}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}}{5}=+216{,}000\,\text{V}$
$V_{2}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{-60\times10^{-6}}{5}=-108{,}000\,\text{V}$
$V_{3}=9\times10^{9}\cdot\dfrac{-120\times10^{-6}}{4}=-270{,}000\,\text{V}$

$V_{O}=216{,}000-108{,}000-270{,}000$

$\boxed{V_{O}=-1{,}62\times10^{5}\ \text{V}}$

El signo negativo indica que una carga positiva colocada en el origen tendría una energía potencial negativa respecto del infinito.

Parte 2.d

Energía para mover $q=1\,\mu\text{C}$ del origen a $P_{3}$

El trabajo que debe realizar un agente externo (desplazamiento a velocidad constante, es decir, sin cambio de energía cinética) es $W=q\,(V_{P_{3}}-V_{O})$ .

Distancia de $q_{1}$ y $q_{2}$ a $P_{3}(0,4)$ : $r=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}=6{,}40\,\text{m}$ .
Potencial en $P_{3}$ , considerando solo las dos cargas que no están en el punto (la autorenergía de $q_{3}$ se descarta por convención): $V_{P_{3}}=9\times10^{9}\left(\frac{120\times10^{-6}}{6{,}40}-\frac{60\times10^{-6}}{6{,}40}\right)=9\times10^{9}\cdot\frac{60\times10^{-6}}{6{,}40}=+84{,}300\,\text{V}$
Diferencia de potencial: $\Delta V=V_{P_{3}}-V_{O}=84{,}300-(-162{,}000)=246{,}300\,\text{V}$
Energía necesaria: $W=q\,\Delta V=1\times10^{-6}\times246{,}300$

$\boxed{W\approx2{,}46\times10^{-1}\,\text{J}=0{,}25\,\text{J}}$

Comprobación por aproximación de campo uniforme: cerca del origen $W\approx qE_{y}d=(1\times10^{-6})(6{,}75\times10^{4})(4)=0{,}27\,\text{J}$ , valor consistente con el anterior; la diferencia se debe a que el campo no es uniforme a lo largo del recorrido.

Respuesta orientativa: se requiere un trabajo externo de unos $0{,}25\,\text{J}$ (≈ $246\,\text{kJ/C}$ de diferencia de potencial) para llevar la carga al punto $P_{3}$ .

Contenido de la página

2. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

De igual forma que en la mecánica clásica, es necesario una cantidad de energía para mover un objeto de un punto a otro. Debido al trabajo realizado por las fuerzas, de manera dual, existe cierta cantidad de energía para trasladar una carga de un punto hacia otro.

Si se colocan cargas puntuales $q_{1}=120\,\mu\text{C}$ ; $q_{2}=-60\,\mu\text{C}$ ; $q_{3}=-120\,\mu\text{C}$ , colocadas sobre los puntos $P_{1}(-5,0)$ , $P_{2}(5,0)$ y $P_{3}(0,4)$ :

a) Realizo una gráfica representativa de la situación, dibujo las fuerzas.
b) Determino el vector intensidad de campo eléctrico en el origen de coordenadas.
c) Determino el potencial eléctrico sobre el origen de coordenadas.
d) Determino: ¿qué se requiere para mover una carga de $q=1\,\mu\text{C}$ desde el origen de coordenadas hasta el punto $P_{3}$ ?

(La página incluye una cuadrícula amplia para que el estudiante realice la gráfica solicitada en el literal a).

Ejemplos resueltos

Calcular el campo eléctrico producido por una carga de 120 µC a 5 m del origen.

$E = 9\times10^{9}\cdot\dfrac{120\times10^{-6}}{5^{2}} = 43{,}2\times10^{3}\,\text{N/C}$ , dirigido alejándose de la carga positiva.

Tablas (2)

Carga	Posición	Valor	Fuerza resultante (N)
$q_{1}$	$(-5,0)$	$+120\,\mu\text{C}$	$3{,}12\,\hat{i}+1{,}98\,\hat{j}$
$q_{2}$	$(5,0)$	$-60\,\mu\text{C}$	$0{,}59\,\hat{i}-0{,}99\,\hat{j}$
$q_{3}$	$(0,4)$	$-120\,\mu\text{C}$	$-3{,}70\,\hat{i}-0{,}99\,\hat{j}$
Total			$\approx 0$

Magnitud	Valor
$E_{1}$ en el origen	$4{,}32\times10^{4}$ N/C ( $+x$ )
$E_{2}$ en el origen	$2{,}16\times10^{4}$ N/C ( $+x$ )
$E_{3}$ en el origen	$6{,}75\times10^{4}$ N/C ( $+y$ )
$V_{O}$	$-1{,}62\times10^{5}$ V
$V_{P_{3}}$	$+8{,}43\times10^{4}$ V
$W$ (carga $1\,\mu\text{C}$ , origen → $P_{3}$ )	$\approx 0{,}25$ J

Diagrama

graph TB
    O(("O(0,0)<br/>E = 9,36×10⁴ N/C a 46,2°"))
    P1["P₁(-5,0)<br/>q₁ = +120 µC"]
    P2["P₂(5,0)<br/>q₂ = -60 µC"]
    P3["P₃(0,4)<br/>q₃ = -120 µC"]
    P1 ---|"r = 5 m"| O
    P2 ---|"r = 5 m"| O
    P3 ---|"r = 4 m"| O
    P1 ---|"r = 6,40 m, atracción"| P2
    P3 ---|"r = 6,40 m"| P1
    P3 ---|"r = 6,40 m, repulsión"| P2

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{E}$ = k $\dfrac{q}{r^{2}}$ $\hat{r}$

V = $k\displaystyle\sum$ $\frac{q_{i}}{r_{i}}$

W = $q\,\Delta$ V

$\vec{E}$ = k $\frac{q}{r^{2}}$ $\hat{r}$

F = k $\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}$

V = $k\sum_{i}$ $\frac{q_{i}}{r_{i}}$

$\vec{E}@@MATH_0@@\vec{E}$ $_{i}$

W = $q\,(V_{f}$ - $V_{i})$

| $\vec{E}$ | = $\sqrt{E_{x}^{2} + E_{y}^{2}}$

$\theta$ = $\arctan\left(@@MATH_0@@\right)$

Glosario (4)

Campo eléctrico: Vector que en cada punto indica la fuerza por unidad de carga que experimenta una carga positiva de prueba colocada en ese punto.
Potencial eléctrico: Magnitud escalar que expresa la energía potencial eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio.
Trabajo de un campo: Energía necesaria para mover una carga de un punto a otro dentro de un campo, igual al producto de la carga por la diferencia de potencial.
Principio de superposición: El campo o potencial total en un punto es la suma vectorial o escalar, respectivamente, de los campos y potenciales individuales de cada carga.

Preguntas para practicar

¿Por qué el potencial eléctrico es una magnitud escalar mientras que el campo eléctrico es un vector?

El potencial proviene de la energía, que es escalar: al superponer potenciales basta sumar algebraicamente los valores. El campo eléctrico sí tiene dirección y sentido en cada punto, por lo que al superponer campos deben sumarse las componentes vectoriales de cada contribución.

¿Qué ocurriría con el resultado de la incisa c) si todas las cargas fueran positivas?

El potencial en el origen sería positivo, ya que los tres términos $kq_i/r_i$ sumarían valores positivos; además, mover una carga positiva hacia ese punto requeriría trabajo externo positivo porque repeliría el campo positivo generado.

¿Por qué en la incisa d) se descarta el potencial de $q_{3}$ en el punto $P_{3}$?

Porque la distancia entre la carga de prueba y $q_{3}$ es cero, lo que haría divergir el término $kq_3/r$. Es la autorenergía de la carga, convencionalmente descartada al calcular el trabajo de traslación entre dos puntos distintos del campo.

Temas y conceptos clave

Campo eléctrico de cargas puntualesPotencial eléctricoTrabajo y energía en campos eléctricosPrincipio de superposicióncampo eléctrico vectorialpotencial eléctrico escalarfuerza de Coulombtrabajo externodiferencia de potencialsuperposición de campos