Sobre tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se colocan cargas iguales de q_1 = 20 . a) Realiza un esquema de los tres vértices y del cuarto vértice con una carga de prueba. b) Determina el vector campo eléctrico sobre el cuarto vértice.

E ≈ ≤ft(-2.4×10^5 i - 2.4×10^5 j) N/C, |E| ≈ 3.4×10^5 N/C

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

128/274

Campo eléctrico en el cuarto vértice de un cuadrado con cargas iguales

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 128

128 de 274

Anterior Página 128 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

a) Cuadrado de lado 1 m con $q_1 = 20\,\mu\text{C}$ en tres vértices y carga de prueba en el cuarto; los tres campos en el cuarto vértice apuntan hacia afuera. b) $\vec{E} \approx (-2.4\times10^{5}\,\hat{i} - 2.4\times10^{5}\,\hat{j})\,\text{N/C}$ ; módulo $\approx 3.4\times10^{5}\,\text{N/C}$ a $45^\circ$ (por la diagonal).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 128

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 3

Sobre tres de los vértices de un cuadrado de lado $a = 1 \, \text{m}$ se colocan cargas iguales de $q_1 = 20 \, \mu\text{C} = 20 \times 10^{-6} \, \text{C}$ . Se pide esquematizar la configuración y determinar el vector campo eléctrico («intensidad de carga eléctrica») sobre el cuarto vértice, donde se sitúa una carga de prueba positiva.

Supuesto de trabajo: las tres cargas $q_1$ son positivas y se ubican en $A(0,1)$ , $B(1,1)$ y $C(1,0)$ ; el cuarto vértice es $D(0,0)$ , donde se coloca la carga de prueba positiva $q_0$ . La constante de Coulomb se toma como $k = 9 \times 10^{9} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2$ .

Parte 3.a

Esquema de los tres vértices y del cuarto vértice con carga de prueba

Se dibuja el cuadrado $ABCD$ sobre la cuadrícula con 1 m por lado. En los vértices $A$ , $B$ y $C$ se marcan signos « $+$ » (cargas $q_1 = 20 \, \mu\text{C}$ ) y en $D$ se marca la carga de prueba $q_0$ (positiva). Como las tres cargas son positivas, el campo que producen en $D$ apunta siempre alejándose de ellas:

En $D$ , el campo de $A$ apunta hacia $-y$ (hacia abajo),
el campo de $C$ apunta hacia $-x$ (hacia la izquierda),
el campo de $B$ apunta hacia $D$ siguiendo la diagonal, es decir, hacia $-x$ y $-y$ (a $45^\circ$ ).

Respuesta

esquema con tres cargas positivas en $A$ , $B$ , $C$ y una carga de prueba en $D$ (esquina inferior izquierda), con los tres vectores de campo en $D$ señalando hacia afuera, según se describe arriba y se ilustra con el diagrama.

Parte 3.b

Campo eléctrico total sobre el cuarto vértice $D$

Campo producido por $A$ en $D$ (distancia $r_{AD} = a = 1 \, \text{m}$ ):

$E_A = \frac{k \, q_1}{r_{AD}^2} = \frac{(9 \times 10^{9}) (20 \times 10^{-6})}{(1)^2} = 180\,000 \, \text{N/C} = 1.8 \times 10^{5} \, \text{N/C}$

Como $A$ está justo sobre $D$ , este campo apunta en la dirección $-\hat{j}$ :

$\vec{E}_A = -1.8 \times 10^{5} \, \hat{j} \; \text{N/C}$

Campo producido por $C$ en $D$ (distancia $r_{CD} = a = 1 \, \text{m}$ ):

$E_C = \frac{k \, q_1}{r_{CD}^2} = \frac{(9 \times 10^{9})(20 \times 10^{-6})}{1^2} = 1.8 \times 10^{5} \, \text{N/C}$

Apunta en la dirección $-\hat{i}$ :

$\vec{E}_C = -1.8 \times 10^{5} \, \hat{i} \; \text{N/C}$

Campo producido por $B$ en $D$ (distancia $r_{BD} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2} \, \text{m}$ ):

$E_B = \frac{k \, q_1}{r_{BD}^2} = \frac{(9 \times 10^{9})(20 \times 10^{-6})}{(\sqrt{2})^2} = \frac{180\,000}{2} = 9 \times 10^{4} \, \text{N/C}$

El vector $ $\vec{E}_B@@MATH_5@@45^\circ@@MATH_6@@E_{Bx} = E_B \cos 45^\circ = (9 \times 10^{4})(0.7071) \approx 6.36 \times 10^{4} \, \text{N/C}@@MATH_7@@E_{By} = E_B \sin 45^\circ \approx 6.36 \times 10^{4} \, \text{N/C}@@MATH_8@@\vec{E}_B = \left(-6.36 \times 10^{4} \, \hat{i} - 6.36 \times 10^{4} \, \hat{j}\right) \, \text{N/C}$ $

Ejercicio 4

Superposición vectorial (principio de superposición):

$\vec{E}_{\text{tot}} = \vec{E}_A + \vec{E}_C + \vec{E}_B$

Componente $x$ :

$E_x = -1.8 \times 10^{5} - 6.36 \times 10^{4} = -2.44 \times 10^{5} \, \text{N/C}$

Componente $y$ :

$E_y = -1.8 \times 10^{5} - 6.36 \times 10^{4} = -2.44 \times 10^{5} \, \text{N/C}$

Ejercicio 5

Módulo del campo resultante:

$|\vec{E}_{\text{tot}}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2} = \sqrt{2} \, (2.44 \times 10^{5}) \approx 3.4 \times 10^{5} \, \text{N/C}$

Verificación por simetría: los campos de $A$ y $C$ son iguales en módulo ( $1.8 \times 10^{5}$ ) y sus sumas a lo largo de la diagonal son $2 \times \frac{1.8\times10^{5}}{\sqrt{2}} = 2.55 \times 10^{5}$ ; a esto se suma el de $B$ , $9\times 10^{4}$ , dando $3.45\times10^{5} \approx 3.4 \times 10^{5} \, \text{N/C}$ , resultado consistente.

Dirección: como $E_x = E_y < 0$ , el vector forma un ángulo de $45^\circ$ con el eje $x$ negativo, es decir, en la dirección de la diagonal que pasa por $D$ y $B$ , alejándose de la carga $B$ .

Nota: si la carga de prueba $q_0$ es negativa, el campo sigue igual (el campo depende solo de $q_1$ y la geometría), pero la fuerza sobre la prueba sería de módulo $F = q_0 E$ , dirigida hacia dentro del cuadrado.

Respuesta

$\vec{E}_{\text{tot}} \approx (-2.4 \times 10^{5} \, \hat{i} - 2.4 \times 10^{5} \, \hat{j}) \, \text{N/C}$ , con módulo $|\vec{E}| \approx 3.4 \times 10^{5} \, \text{N/C}$ , dirigido a $45^\circ$ respecto de los lados, a lo largo de la diagonal del cuadrado.

Contenido de la página

Problema 3

Sobre tres de los vértices de un cuadrado de $1 \, \text{m}$ por lado se colocan cargas iguales de $q_1 = 20 \, \mu\text{C}$ . Se pide:

a) Esquematizar los tres vértices cargados y el cuarto vértice con una carga de prueba.

b) Determinar el vector campo eléctrico («intensidad de carga eléctrica») sobre el cuarto vértice.

Planteamiento: Llamemos $A(0,1)$ , $B(1,1)$ , $C(1,0)$ a los vértices con $q_1$ y $D(0,0)$ al vértice con la carga de prueba positiva. Como las cargas son positivas, sus campos en $D$ se alejan de ellas.

Resultados: $\vec{E}_A = -1.8\times10^{5}\,\hat{j}$ N/C, $\vec{E}_C = -1.8\times10^{5}\,\hat{i}$ N/C, $\vec{E}_B = -6.36\times10^{4}(\hat{i}+\hat{j})$ N/C. Campo total: $\vec{E} \approx -2.4\times10^{5}(\hat{i}+\hat{j})$ N/C, módulo $\approx 3.4\times10^{5}$ N/C, dirección de la diagonal.

Ejemplos resueltos

Calcular el módulo del campo eléctrico producido por una carga de $20\,\mu\text{C}$ a $1\,\text{m}$ de distancia.

$E = \frac{(9\times10^{9})(20\times10^{-6})}{1^2} = 1.8\times 10^{5} \, \text{N/C}$

Tabla

Vértice	Coordenadas	Distancia a $D$	$E$ (N/C)	Dirección en $D$
$A$	$(0,1)$	$1\,\text{m}$	$1.8\times10^{5}$	$-\hat{j}$ (hacia abajo)
$C$	$(1,0)$	$1\,\text{m}$	$1.8\times10^{5}$	$-\hat{i}$ (hacia la izquierda)
$B$	$(1,1)$	$\sqrt{2}\,\text{m}$	$9\times10^{4}$	$-45^\circ$ respecto de $-\hat{i}$ (diagonal)
Total	—	—	$\mathbf{3.4\times10^{5}}$	$45^\circ$ bajo $-\hat{i}$ (diagonal)

Diagramas (2)

flowchart TB
  subgraph Cuadrado de 1 m de lado
    direction TB
    A["A (0,1): q₁ = +20 μC"] --- B["B (1,1): q₁ = +20 μC"]
    B --- C["C (1,0): q₁ = +20 μC"]
    C --- D["D (0,0): carga de prueba +q₀"]
    D --- A
    B -. diagonal = √2 m .- D
  end

graph TD
  D["Punto D (cuarto vértice)"] -->|campo de A, -y| EA["E_A = 1.8×10⁵ N/C ↓"]
  D -->|campo de C, -x| EC["E_C = 1.8×10⁵ N/C ←"]
  D -->|campo de B, diagonal| EB["E_B = 9×10⁴ N/C ↙"]
  EA --> ET["E_total = 3.4×10⁵ N/C a 45°"]
  EC --> ET
  EB --> ET

Fórmulas y ecuaciones

$E = \dfrac{k \, q}{r^2}$

k = 9 $\times$ $10^{9}$ $\$ , $\text{N}$ $\cdot$ $\text{m}$ ^2/ $\text{C}$ ^2

$\vec{E}_{\text{tot}} = \sum_i \vec{E}_i$

E = $\frac{k \, q_1}{r^2}$

$\vec{E}@@MATH_0@@\text{tot}$ } = $\vec{E}$ _A + $\vec{E}$ _B + $\vec{E}$ _C

$r_{BD}$ = $\sqrt{a^2+a^2}$ = a $\sqrt{2}$

$E_{Bx}$ = $E_B$ $\cos$ $45^\circ$ , $\quad$ $E_{By}$ = $E_B$ $\sin$ $45^\circ$

| $\vec{E}$ | = $\sqrt{E_x^2 + E_y^2}$

Glosario (5)

Campo eléctrico: Vector que describe la fuerza por unidad de carga que experimenta una carga de prueba positiva en un punto: $\vec{E} = \vec{F}/q_0$.
Constante de Coulomb: Constante $k = 9\times 10^{9} \, \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2$ que aparece en la ley de la fuerza electrostática.
Carga de prueba: Carga suficientemente pequeña como para no alterar la distribución de cargas que produce el campo que se estudia.
Principio de superposición: El campo eléctrico total en un punto es la suma vectorial de los campos producidos individualmente por cada carga.
μC (microcoulomb): Unidad de carga equivalente a $10^{-6}$ coulombs.

Preguntas para practicar

¿Por qué en el cuarto vértice el campo resultante apunta exactamente a lo largo de la diagonal?

Por la simetría del problema: las cargas de los dos vértices adyacentes al cuarto ($A$ y $C$) son iguales y equidistantes, de modo que sus campos tienen componentes iguales que se suman en la diagonal; al de la carga opuesta por la diagonal se le suma otro campo igualmente dirigido. Por eso el vector total queda alineado con esa diagonal.

¿Qué le ocurre a la fuerza sobre la carga de prueba si esta es negativa?

El campo eléctrico $ \vec{E}$ no cambia, porque solo depende de las cargas $q_1$ y de la geometría. Sin embargo, la fuerza $\vec{F} = q_0\vec{E}$ se invierte de dirección (hacia el interior del cuadrado), conservando el módulo $F = |q_0|\,|\vec{E}|$.

Temas y conceptos clave

Campo eléctrico de una carga puntualPrincipio de superposición de camposCampo eléctrico en configuraciones simétricasCampo eléctrico $\vec{E}$Ley de CoulombComponentes del campoDiagonal de un cuadradoCarga de pruebaSimetría