— Partes c), d) y e)
Esta página continúa un ejercicio iniciado en las páginas anteriores (págs. 127–128), donde se define un cuadrado de lado a con cargas q_1, q_2, q_3, q_4 situadas en sus vértices. Como los valores numéricos de esas cargas y del lado a aparecen en la página anterior, se desarrolla el método general con símbolos; basta sustituir los datos del enunciado anterior para obtener el resultado numérico final.
Datos generales:
- Lado del cuadrado: a.
- Distancia entre vértices adyacentes: a.
- Distancia entre vértices opuestos (diagonal): d = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.
- Distancia de cada vértice al centro del cuadrado: \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}.
- Constante electrostática: k = 9\times 10^{9} \, \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}.
Potencial eléctrico en el vértice mencionado
El potencial eléctrico es un escalar, por lo que en un punto se suman algebraicamente las contribuciones de todas las cargas, sin resolver componentes:
V = k\sum \frac{q_i}{r_i}
Sea el vértice buscado el que tiene cargas vecinas q_2 y q_4 (a distancia a) y la carga opuesta q_3 (a distancia a\sqrt{2}):
- Distancias desde el vértice: r_2 = a, r_4 = a, r_3 = a\sqrt{2}.
- Suma de contribuciones:
V = k\frac{q_2}{a} + k\frac{q_4}{a} + k\frac{q_3}{a\sqrt{2}} 3. Factor común:
V = \frac{k}{a}\left(q_2 + q_4 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right)
V = \dfrac{k}{a}\left(q_2 + q_4 + \dfrac{q_3}{\sqrt{2}}\right) (sustituir los valores numéricos de la página anterior).
Trabajo para mover una carga $q = 10\,\mu\text{C}$ del centro al cuarto vértice
El trabajo del campo eléctrico (o el trabajo externo, con signo cambiado) depende solo de los potenciales de los puntos inicial y final:
W = q\,(V_{\text{final}} - V_{\text{inicial}}) = q\,(V_{\text{vértice}} - V_{\text{centro}})
- Potencial en el vértice, según el literal c):
V_{\text{vértice}} = \frac{k}{a}\left(q_2 + q_4 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right) 2. Potencial en el centro del cuadrado: cada vértice está a r = \frac{a}{\sqrt{2}} del centro, así que
V_{\text{centro}} = \frac{k}{a/\sqrt{2}}\,(q_1 + q_2 + q_3 + q_4) = \frac{k\sqrt{2}}{a}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4) 3. Diferencia de potenciales:
\Delta V = \frac{k}{a}\left(q_2 + q_4 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right) - \frac{k\sqrt{2}}{a}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4) 4. Trabajo con q = 10\,\mu\text{C} = 1\times 10^{-5}\,\text{C}:
W = 1\times 10^{-5}\,\text{C}\;\left[\frac{k}{a}\left(q_2 + q_4 + \frac{q_3}{\sqrt{2}}\right) - \frac{k\sqrt{2}}{a}(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)\right]
Ejemplo numérico (valores típicos de este tipo de ejercicio): si a = 0{,}20\,\text{m} y las cargas son q_1 = q_2 = q_4 = +2\,\mu\text{C} y q_3 = -2\,\mu\text{C}, entonces
V_{\text{vértice}} = \frac{9\times10^{9}}{0{,}20}\left(2\times10^{-6} + 2\times10^{-6} - \frac{2\times10^{-6}}{\sqrt{2}}\right) \approx 1{,}93\times10^{5}\,\text{V}
V_{\text{centro}} = \frac{9\times10^{9}\sqrt{2}}{0{,}20}(0) = 0\,\text{V}\quad\text{(si la suma de cargas es cero)}
W = 1\times10^{-5}(1{,}93\times10^{5} - 0) \approx 1{,}93\,\text{J}
W = q\,(V_{\text{vértice}} - V_{\text{centro}}); con los datos del ejemplo, W \approx 1{,}93\,\text{J}.
¿Qué pasa con el potencial y el campo eléctrico si se cambia de vértice?
- Si las cuatro cargas son iguales y de igual signo, todos los vértices son equivalentes por simetría: el potencial es el mismo en cada vértice, V = \frac{kq}{a}(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}), y el campo eléctrico en el centro es nulo porque los vectores se cancelan por pares opuestos. El campo en cada vértice tiene igual módulo y distinta dirección.
- Si las cargas son distintas, cada vértice tiene distinto potencial: dominan las cargas cercanas y de signo positivo. El campo eléctrico en los distintos vértices también cambia en módulo y dirección.
- En todo caso, mover una carga entre vértices equivale al mismo trabajo W = q\Delta V, y entre dos puntos equipotenciales el trabajo es nulo.
Respuesta orientativa: Con cargas iguales, cambiar de vértice no altera el potencial (mismo valor por simetría) y el campo sólo rota de dirección manteniendo su módulo; con cargas distintas, tanto el potencial como el campo cambian de valor en cada vértice.
