Enunciado: a) La ecuación y(t,x) = 7\,\text{sen}\left(nx + \dfrac{\pi}{4}\right)\,\text{cm} representa la onda para un instrumento de afinación. A partir de ello, determino:

Identificación de parámetros (base para todos los ítems).

La forma general de una onda viajera transversal es

y(x,t) = A\,\text{sen}(\omega t \pm kx + \varphi)

comparando con la ecuación dada:

1. Amplitud: A = 7\,\text{cm} (es el coeficiente que multiplica al seno).
2. Constante de fase (fase inicial): \varphi = \dfrac{\pi}{4}\,\text{rad}.
3. El término nx es el término espacial: n juega el papel de número de onda k = \dfrac{2\pi}{\lambda} (rad/cm), y el tiempo t debe aparecer implícitamente en el argumento como \omega t para que sea una onda viajera (ver nota al final).

1. Se traza el eje horizontal x (dirección de propagación, en cm) y el eje vertical y (desplazamiento, en cm).
2. Se dibuja la recta y = 0 (línea de reposo o de equilibrio).
3. La amplitud es A = 7\,\text{cm}: se marcan y = +7 e y = -7 como líneas punteadas.
4. Crestas (máximos, y = +7\,\text{cm}): se alcanzan cuando el argumento vale \dfrac{\pi}{2} + 2\pi m, es decir nx_c + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi m \Rightarrow x_c = \frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi m}{n}.
5. Valles o senos (mínimos, y = -7\,\text{cm}): cuando el argumento vale \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi m: x_v = \frac{\frac{5\pi}{4} + 2\pi m}{n}.
6. Nodos (cruces de la línea de reposo, y = 0): cuando el argumento vale m\pi: nx_n + \frac{\pi}{4} = m\pi \Rightarrow x_n = \frac{m\pi - \frac{\pi}{4}}{n}.
7. Longitud de onda \lambda: distancia entre dos crestas consecutivas, \lambda = \dfrac{2\pi}{n} = \dfrac{2\pi}{k}.
8. Periodo T y frecuencia f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{\omega}{2\pi}, y velocidad de propagación v = \dfrac{\omega}{k} = f\lambda.
9. Se coloca una flecha sobre la curva indicando el sentido de propagación (item iii).

flowchart TD
    A["y(t,x) = 7 sen(nx + π/4) cm"] --> B["Amplitud A = 7 cm"]
    A --> C["Fase inicial φ = π/4"]
    A --> D["Número de onda k = n = 2π/λ"]
    A --> E["Longitud de onda λ = 2π/n"]
    A --> F["Frecuencia f = ω/2π"]
    A --> G["Velocidad v = ω/k = fλ"]
    H["Cresta: y = +7 cm"] --> I["Valle: y = −7 cm"]
    I --> J["Nodo: y = 0 (línea de reposo)"]
    J --> K["Propagación hacia x decreciente"]

Esquema descriptivo del gráfico: curva senoidal de amplitud 7\,\text{cm} que parte en x=0 con y = 7\,\text{sen}(\pi/4) = 7\,\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 4{,}95\,\text{cm} (por encima de la línea de reposo), alcanza su primera cresta para valores positivos de x y luego se repite cada \lambda = \dfrac{2\pi}{n} cm.

Respuesta orientativa: La onda se propaga hacia valores decrecientes de x (en el sentido negativo del eje x).

1. El argumento del seno es la fase: \varphi(x,t) = \omega t + nx + \dfrac{\pi}{4}.
2. Un mismo estado de la onda (misma fase, por ejemplo una cresta) debe conservarse con el paso del tiempo. Se impone \varphi = \text{cte}: \omega t + nx + \frac{\pi}{4} = \text{cte}.
3. Derivando respecto de t: \omega + n\,\dfrac{dx}{dt} = 0, de donde v = \frac{dx}{dt} = -\frac{\omega}{n}.
4. El signo negativo indica que la posición de un mismo punto de la onda (una cresta, un nodo) disminuye con el tiempo: la onda avanza hacia la izquierda, es decir, en la dirección de x negativo.
5. El módulo de la velocidad es |v| = \dfrac{\omega}{n} = f\lambda.
6. Si el argumento fuera \omega t - nx + \dfrac{\pi}{4} (signo menos), la derivación daría v = +\dfrac{\omega}{n}, es decir, propagación hacia x positivo. Por eso el signo del término en x determina el sentido: signo más → propagación hacia el eje negativo; signo menos → hacia el eje positivo.

1. De la forma general el número de onda es k = n = \dfrac{2\pi}{\lambda}.
2. Despejando la longitud de onda: \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{n}\;\text{cm}.
3. Si el término temporal implícito es \omega t, la frecuencia angular es \omega y la frecuencia ordinaria es f = \frac{\omega}{2\pi}\;\text{Hz}, \qquad T = \frac{1}{f} = \frac{2\pi}{\omega}\;\text{s}.
4. La velocidad queda entonces como v = \frac{\omega}{k} = \frac{\omega}{n} = f\lambda.
5. Nota de integridad: la ecuación impresa en el libro, y(t,x) = 7\,\text{sen}\left(nx + \frac{\pi}{4}\right)\,\text{cm}, no muestra numéricamente los valores de \omega (ni de n), y un argumento sin término en t no describiría una onda viajera sino una oscilación estacionaria. Por ello solo puede darse el resultado simbólico; para obtener números concretos habría que conocer \omega y n (o bien v y f), usando \lambda = 2\pi/n y f = \omega/2\pi.

Verificación: si en un caso particular n = \pi/4\,\text{cm}^{-1} y \omega = 2\pi\,\text{s}^{-1}, entonces \lambda = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8\,\text{cm} y f = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\,\text{Hz}, de modo que v = f\lambda = 8\,\text{cm/s}, valor igual al obtenido con v = \omega/n = 2\pi\,/\,(\pi/4) = 8\,\text{cm/s}: las dos rutas coinciden.