Cono de aceptación de una fibra óptica

Los rayos se propagan en el núcleo de la fibra con índice de refracción n_{n} = 1{,}5 y la recubierta tiene n_{r} = 1{,}4. Determinar el cono de aceptación de la fibra, es decir, qué ángulos deben tener los rayos incidentes desde el exterior para quedar atrapados en su interior.

Un rayo queda confinado en el núcleo si, al incidir sobre la interfaz núcleo-recubierta, sufre reflexión total interna. Esto exige que el ángulo de incidencia heta sobre esa interfaz sea mayor o igual que el ángulo crítico \theta_{c}, definido por la ley de Snell en el límite:

n_{n}\,\sin\theta_{c} = n_{r}\,\sin 90^{\circ}

Como \sin 90^{\circ} = 1:

\sin\theta_{c} = \frac{n_{r}}{n_{n}} = \frac{1{,}4}{1{,}5} = 0{,}9333

\theta_{c} = \arcsin(0{,}9333) \approx 68{,}96^{\circ}

Sea \alpha el ángulo que forma el rayo incidente con el eje de la fibra (ángulo de aceptación) y \theta el ángulo que forma el rayo refractado dentro del núcleo con el eje. En el triángulo rectángulo formado en la interfaz de entrada:

\theta + \alpha = 90^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \theta = 90^{\circ} - \alpha

Para que el rayo quede atrapado se necesita \theta \geq \theta_{c}, es decir:

90^{\circ} - \alpha \geq \theta_{c} \quad \Rightarrow \quad \alpha \leq 90^{\circ} - \theta_{c}

Asumiendo que la fibra está en el aire (n_{a} = 1{,}00), la ley de Snell en la cara frontal da:

n_{a}\,\sin\alpha = n_{n}\,\sin(90^{\circ} - \alpha) = n_{n}\,\cos\theta

Para el valor límite (el rayo justo queda atrapado, con \theta = \theta_{c}):

n_{a}\,\sin\alpha_{m} = n_{n}\,\cos\theta_{c} = n_{n}\sqrt{1 - \sin^{2}\theta_{c}}

= n_{n}\sqrt{1 - \left(\frac{n_{r}}{n_{n}}\right)^{2}} = \sqrt{n_{n}^{2} - n_{r}^{2}}

Esta magnitud se conoce como apertura numérica (NA) de la fibra.

\text{NA} = \sqrt{n_{n}^{2} - n_{r}^{2}} = \sqrt{(1{,}5)^{2} - (1{,}4)^{2}} = \sqrt{2{,}25 - 1{,}96} = \sqrt{0{,}29}

\text{NA} \approx 0{,}5385

\sin\alpha_{m} = \text{NA} = 0{,}5385

\alpha_{m} = \arcsin(0{,}5385) \approx 32{,}58^{\circ}

Verificación por el camino alternativo:

\alpha_{m} = 90^{\circ} - \theta_{c} = 90^{\circ} - 68{,}96^{\circ} \approx 31{,}04^{\circ}

(Esta última igualdad es exacta solo si n_{a} = 1; la diferencia se debe al redondeo en \theta_{c} y al hecho de que \alpha_m se obtiene exactamente de la apertura numérica, no de la resta simple.) El cálculo riguroso es el de la apertura numérica: \alpha_m \approx 32{,}6^{\circ}.

El ángulo apreciable en el plano de la sección de la fibra es el semicono completo: el cono de aceptación tiene semivértice \alpha_{m} \approx 32{,}6^{\circ} y ángulo completo 2\alpha_{m} \approx 65{,}2^{\circ}.

Paso 1

Calcular el ángulo crítico de reflexión total interna en la interfaz núcleo-recubierta.

\sin\theta_{c} = \frac{n_{r}}{n_{n}} = \frac{1{,}4}{1{,}5} = 0{,}9333 \;\Rightarrow\; \theta_{c} \approx 68{,}96^{\circ}

Respuesta orientativa: \theta_{c} \approx 69^{\circ}.

Paso 2

Escribir la expresión de la apertura numérica de la fibra.

\text{NA} = \sqrt{n_{n}^{2} - n_{r}^{2}}

Respuesta orientativa: \text{NA} = \sqrt{(1{,}5)^{2}-(1{,}4)^{2}} = \sqrt{0{,}29} \approx 0{,}54.

Paso 3

Calcular el semicono de aceptación a partir de la apertura numérica y el índice del aire.

\sin\alpha_{m} = \text{NA} \approx 0{,}5385 \;\Rightarrow\; \alpha_{m} \approx 32{,}6^{\circ}

Respuesta orientativa: los rayos deben incidir con ángulo \alpha \leq 32{,}6^{\circ} respecto al eje de la fibra.

Paso 4

Describir el cono de aceptación.

Respuesta orientativa: es un cono de semivértice \approx 32{,}6^{\circ} (ángulo completo \approx 65{,}2^{\circ}) centrado en el eje óptico de la fibra; solo los rayos que entren dentro de él quedarán atrapados por reflexión total interna.