Ministerio de Educación del Ecuador

206/274

Tema 16: Leyes de Kepler — criterios, objetivos y saberes previos

📄 introduccion fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 206

206 de 274

Anterior Página 206 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

Órbitas elípticas con el Sol en un foco ( $c^2=a^2-b^2$ , $e=c/a$ ); leyes de Kepler: áreas iguales en tiempos iguales y $T^2 \propto a^3$ ; analogía: patinador atado a un faro sobre hielo sin fricción.

fisica ⭐ Dificultad 1/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 206

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

Tema 16: Leyes de Kepler

Ejercicio 1

Lectura de la figura: la órbita elíptica

La figura muestra una elipse con el Sol en uno de sus dos focos, tal como lo postuló Johannes Kepler tras analizar las observaciones de Tycho Brahe del planeta Marte.

La elipse se describe por dos semiejes: el semieje mayor $a$ y el semieje menor $b$ , relacionados con la distancia focal $c$ (desde el centro de la elipse hasta el foco donde está el Sol) por la relación

$c^{2} = a^{2} - b^{2}.$

La excentricidad de la órbita mide cuánto se aparta la elipse de una circunferencia:

$e = \frac{c}{a}, \qquad 0 \le e < 1.$

Para la Tierra, $e \approx 0{,}0167$ , es decir, casi circular; para Marte, $e \approx 0{,}093$ .

La posición del planeta en un instante dado se describe por el radio vector $r$ (distancia planeta–Sol) y el ángulo polar $\theta$ respecto de la dirección del eje mayor. En coordenadas polares, la ecuación de la órbita es

$r = \frac{a\left(1-e^{2}\right)}{1 + e\cos\theta}.$

El área barrida por el radio vector en el tiempo $t$ es $A = \int_{0}^{\theta} \frac{1}{2} r^{2}\, d\theta$ , que aparece en la segunda ley de Kepler.

Ejercicio 2

Criterio de evaluación (CE.CN.F.5.17)

El estudiante debe argumentar:

Las tres leyes de Kepler: (i) órbitas elípticas con el Sol en un foco; (ii) igualdad de áreas en tiempos iguales; (iii) $T^{2} \propto a^{3}$ .
La ley de gravitación universal de Newton, $F = G\dfrac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$ , que explica geométricamente las leyes de Kepler derivándolas.
El concepto de campo gravitacional $\vec{g} = -\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{r}$ .
Las semejanzas y diferencias entre el movimiento de la Luna (satélite natural de la Tierra) y los satélites artificiales, comparando velocidades orbitales $v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ y periodos $T = 2\pi\sqrt{\dfrac{r^{3}}{GM}}$ usando simuladores.

Ejercicio 3

Objetivo (OG.CN.1)

Desarrollar pensamiento científico: flexibilidad intelectual, espíritu indagador y pensamiento crítico, valorando la naturaleza como resultado de las interacciones entre los seres vivos y el ambiente físico.

Ejercicio 4

Pregunta abierta 1: ¿Cómo se mueven los planetas alrededor del Sol?

Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos, no circunferencias perfectas. En cada instante la fuerza de gravedad dirigida hacia el Sol actúa como fuerza centrípeta, de modo que el planeta acelera cerca del perihelio (punto más cercano) y se frena en el afelio (punto más lejano), manteniendo constante el área barrida por el radio vector en tiempos iguales.

Ejercicio 5

Pregunta abierta 2: analogías para describir las leyes de Kepler

Una analogía útil: si el Sol fuera un faro y el planeta un patinador sobre hielo casi sin fricción, el patinador iría siempre "tirado" por la cuerda que lo ata al faro; al girar, recorta en tiempos iguales sectores de igual área (ley 2), y cuánto más rápido gira en la cuerda corta (perihelio), más largo es su periodo completo (ley 3: $T^{2} \propto a^{3}$ ).

Respuesta

Los planetas siguen elipses con el Sol en un foco; en tiempos iguales barren igual área y su periodo crece con el cubo del semieje mayor. Analogía: patinador atado al faro sobre hielo sin fricción.

Contenido de la página

TEMA 16: Leyes de Kepler

Figura: Diagrama de una órbita elíptica. Se observa una elipse cuyo eje horizontal (semieje mayor $a$ ) y eje vertical (semieje menor $b$ ) se cortan en el centro. A una distancia $c$ del centro hacia la derecha se ubica el Sol (en el foco). Sobre la elipse se dibuja un planeta unido al Sol por el radio vector $r$ , formando el ángulo $\theta$ con la dirección horizontal. Una flecha roja curva indica el sentido de giro del planeta (antihorario).

Fuente de la figura: https://n9.cl/dmja3e

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CE.CN.F.5.17. Argumenta las tres leyes de Kepler y la ley de gravitación universal de Newton (a partir de las observaciones de Tycho Brahe al planeta Marte y el concepto de campo gravitacional), y las semeanzas y diferencias entre el movimiento de la Luna y los satélites artificiales (mediante el uso de simuladores).

OBJETIVOS

OG.CN.1. Desarrollar habilidades de pensamiento científico con el fin de lograr flexibilidad intelectual, espíritu indagador y pensamiento crítico; demostrar curiosidad por explorar el medio que les rodea y valorar la naturaleza como resultado de la comprensión de las interacciones entre los seres vivos y el ambiente físico.

Saberes previos

¿Cómo imaginas que se mueven los planetas alrededor del Sol?
¿Puedes pensar en analogías para describir las leyes de Kepler?

Ejemplos resueltos

Un planeta tiene semieje mayor $a = 2{,}28 \times 10^{11}\,\text{m}$ y semieje menor $b = 2{,}26 \times 10^{11}\,\text{m}$ . Calcula la distancia focal $c$ y la excentricidad $e$ .

Aplicamos $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .
$c^{2} = (2{,}28\times10^{11})^{2} - (2{,}26\times10^{11})^{2} = (5{,}1984 - 5{,}1076)\times10^{22} = 9{,}08\times10^{20}\,\text{m}^{2}$ .
$c = \sqrt{9{,}08\times10^{20}} = 3{,}01\times10^{10}\,\text{m}$ .
$e = c/a = \dfrac{3{,}01\times10^{10}}{2{,}28\times10^{11}} \approx 0{,}132$ .
Como $e \approx 0{,}13$ , la órbita es notablemente elíptica, similar a la de Marte ( $e \approx 0{,}093$ ).

Tabla

Parámetro	Símbolo	Definición	Fórmula
Semieje mayor	$a$	Mitad del eje más largo de la elipse	$c^2 = a^2 - b^2$
Semieje menor	$b$	Mitad del eje más corto de la elipse	$b^2 = a^2 - c^2$
Distancia focal	$c$	Centro de la elipse al foco (Sol)	$c^2 = a^2 - b^2$
Excentricidad	$e$	Grado de elongación de la órbita	$e = c/a$
Radio vector	$r$	Distancia Sol–planeta	$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$
Ángulo polar	$\theta$	Orientación del radio vector	—

Diagrama

flowchart TD
  A[Observaciones de Tycho Brahe de Marte] --> B[Análisis de datos por J. Kepler]
  B --> C[1ª ley: órbitas elípticas, Sol en un foco]
  B --> D[2ª ley: áreas iguales en tiempos iguales]
  B --> E[3ª ley: T² ∝ a³]
  C --> F[Newton: F = G·m₁·m₂/r²]
  D --> F
  E --> F
  F --> G[Campo gravitacional g = −GM/r²·r̂]
  F --> H[Comparación Luna vs. satélites artificiales]

Fórmulas y ecuaciones

$c^{2}$ = $a^{2}$ - $b^{2}$

e = $\frac{c}{a}$

$T^{2}$ $\propto$ $a^{3}$

F = G $\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$

$c^{2}$ = $a^{2}$ - $b^{2}$

e = $\frac{c}{a}$

r = $\frac{a(1-e^{2})}{1 + e\cos\theta}$

F = G $\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}$

$\vec{g}$ = - $\frac{GM}{r^{2}}$ $\hat{r}$

$T^{2}$ = $\frac{4\pi^{2}}{GM}$ $a^{3}$

v = $\sqrt{\frac{GM}{r}}$

Glosario (8)

Elipse: Curva cerrada cuya suma de las distancias a dos puntos fijos (focos) es constante; es la forma de las órbitas planetarias según Kepler.
Semieje mayor (a): Mitad del eje más largo de la elipse; en órbitas coincide con el semidiámetro orbital promedio del planeta.
Semieje menor (b): Mitad del eje más corto de la elipse.
Distancia focal (c): Distancia entre el centro de la elipse y uno de sus focos; cumple $c^2 = a^2 - b^2$.
Excentricidad (e): Parámetro $e = c/a$ que indica cuánto se aparta la órbita de una circunferencia; para órbitas cerradas $0 \le e < 1$.
Radio vector (r): Vector que une al Sol con el planeta; su módulo varía entre el perihelio y el afelio.
Perihelio y afelio: Puntos de la órbita más cercano y más lejano al Sol, respectivamente.
Campo gravitacional: Región del espacio donde un cuerpo con masa ejerce una fuerza gravitacional sobre otro; $\vec{g} = -\dfrac{GM}{r^{2}}\hat{r}$.

Preguntas para practicar

¿Cómo imaginas que se mueven los planetas alrededor del Sol?

Siguen órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos. La gravedad actúa como fuerza centrípeta, por lo que el planeta se acelera en el perihelio y se frena en el afelio, barriendo igual área en tiempos iguales.

¿Puedes pensar en analogías para describir las leyes de Kepler?

Un patinador atado con una cuerda a un faro sobre hielo casi sin fricción: la cuerda es la gravedad, la elipse es su trayectoria y recorta sectores de igual área en tiempos iguales.

¿Qué aportaron las observaciones de Tycho Brahe al planeta Marte para las leyes de Kepler?

Brahe recolectó datos posicionales de gran precisión durante décadas; Kepler los analizó y descubrió que la órbita de Marte era elíptica, lo que rompió la idea de órbitas circulares perfectas y dio origen a sus tres leyes.

Temas y conceptos clave

Leyes de KeplerÓrbitas elípticasLey de gravitación universal de NewtonCampo gravitacionalSaberes previos sobre movimiento planetarioelipsesemieje mayor asemieje menor bdistancia focal cexcentricidadradio vector rángulo polar θperihelio y afeliocampo gravitacionalley de gravitación universal

Fuentes y referencias

https://n9.cl/dmja3e

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Diagrama de una órbita elíptica: elipse de ejes marcados con semieje mayor 'a', semieje menor 'b' y distancia focal 'c'. El Sol aparece en el foco derecho; un planeta sobre la elipse se une al Sol por un vector rojo etiquetado 'r', que forma el ángulo θ con la horizontal. Una flecha roja curva a la derecha indica el sentido de movimiento del planeta (antihorario). Pie de figura: 'Fuente: https://n9.cl/dmja3e'. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué dice la primera ley de Kepler sobre las órbitas de los planetas?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el Sol está en un foco de la elipse y no en el centro?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación existe entre el periodo orbital T y el semieje mayor a?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Geometría de la elipse: semieje mayor, semieje menor, focos y excentricidad
• Leyes de Newton (inercia y segunda ley) y concepto de fuerza centrípeta
• Segunda ley de Newton: $\vec{F}=m\vec{a}$
• Cinemática circular: velocidad angular y aceleración centrípeta

Siguiente tema sugerido

Primera ley de Kepler: órbitas elípticas y el Sol en uno de los focos, con el caso de las observaciones de Tycho Brahe a Marte

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 913 caracteres

TEMA 16:

Leyes de Kepler

a Sol )

Fuente: https://n9.cl/dmja3e

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CE.CN.F.5.17. Argumenta las tres leyes de Kepler y la ley de gravitación universal de Newton (a partir de las observaciones de Tycho Brahe al planeta Marte y el concepto de campo gravitacional), y las semejanzas y diferencias entre el movimiento de la Luna y los satélites artificiales (mediante el uso de simuladores).

OBJETIVOS

Saberes previos ¿Cómo imaginas que se mueven los planetas alrededor del Sol? ¿Puedes pensar en analogías para describir las leyes de Kepler?

Texto de Física

205

Páginas cercanas