Enunciado: Con base en la teoría del campo gravitacional y las leyes de Kepler, establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) y justifique.

Enunciado: La fuerza que la Luna ejerce sobre una porción de masa del océano de la superficie de la Tierra es la misma, tanto en su punto más cercano a la Luna como en su punto más alejado de esta.

1. La ley de gravitación universal establece que la fuerza de atracción entre dos masas es F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}, donde r es la distancia entre los centros de ambas masas.
2. La superficie terrestre no está a una distancia constante de la Luna: el punto sublunar (más cercano) está a r_{c} y el punto antilunar (más alejado) está a r_{a} = r_{c} + D, donde D es el diámetro de la Tierra.
3. Como r_{a} > r_{c}, al comparar ambas fuerzas para la misma masa de agua m: \frac{F_{a}}{F_{c}} = \frac{r_{c}^{2}}{r_{a}^{2}} < 1 \quad \Rightarrow \quad F_{a} < F_{c}
4. Además, la fuerza gravitatoria es mayor en el punto cercano y menor en el lejano; esa diferencia de fuerzas entre puntos equidistantes del centro terrestre es precisamente lo que genera el marea de proximidad (y el exceso de fuerza relativa en el antipodo produce la marea de distensión).

Enunciado: Las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna.

1. Por la tercera ley de Newton, la Tierra atrae a la Luna con la misma magnitud con la que la Luna atrae a la Tierra, pero eso describe el enlace gravitatorio de par Tierra–Luna (que mantiene a la Luna en órbita), no el levantamiento del océano.

2. Las mareas aparecen porque el campo gravitatorio de la Luna no es uniforme sobre el volumen terrestre: cada porción de masa terrestre es atraída con una fuerza distinta según su distancia a la Luna.

3. Se define la fuerza de marea como la diferencia entre la fuerza que ejerce la Luna sobre un punto terrestre y la fuerza que ejerce la Luna sobre el centro de la Tierra: F_{\text{marea}} = G\frac{M_{L}\, m}{r^{2}} - G\frac{M_{L}\, m}{(r + x)^{2}} \approx 2G\frac{M_{L}\, m\, x}{r^{3}}

4. Esta fuerza diferencial, no la atracción neta de la Tierra sobre la Luna, es la responsable de las dos protuberancias oceánicas alineadas con la Luna. El Sol aporta además una fuerza de marea, pero aproximadamente la mitad que la de la Luna (unos 0{,}46 veces), porque aunque F_{\text{Sol}\to\text{Tierra}} es muy grande, su campo varía muy poco en la escala del radio terrestre.

Enunciado: La Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que la ejercida por el Sol sobre la Tierra.

1. Verifiquemos cuantitativamente con F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}.
2. Fuerza Sol–Tierra (M_{S} = 1{,}989 \times 10^{30}\ \text{kg}, M_{T} = 5{,}972 \times 10^{24}\ \text{kg}, r_{ST} = 1{,}496 \times 10^{11}\ \text{m}): F_{S\to T} = \frac{(6{,}674 \times 10^{-11})(1{,}989 \times 10^{30})(5{,}972 \times 10^{24})}{(1{,}496 \times 10^{11})^{2}} \approx 3{,}54 \times 10^{22}\ \text{N}
3. Fuerza Tierra–Luna (M_{L} = 7{,}342 \times 10^{22}\ \text{kg}, r_{TL} = 3{,}844 \times 10^{8}\ \text{m}): F_{T\to L} = \frac{(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}972 \times 10^{24})(7{,}342 \times 10^{22})}{(3{,}844 \times 10^{8})^{2}} \approx 1{,}98 \times 10^{20}\ \text{N}
4. Comparación: \frac{F_{S\to T}}{F_{T\to L}} = \frac{3{,}54 \times 10^{22}}{1{,}98 \times 10^{20}} \approx 179
5. Por la tercera ley de Newton, la pareja correcta es Tierra ↔ Luna: la fuerza de la Luna sobre la Tierra es igual a la de la Tierra sobre la Luna. Pero el Sol ejerce sobre la Tierra una fuerza aproximadamente 179 veces mayor. La Tierra describe una órbita alrededor del Sol (primera ley de Kepler: órbita elíptica con el Sol en un foco) precisamente porque esa fuerza centripeta es la dominante; la Luna, en cambio, orbita la Tierra porque F_{T\to L} es la fuerza neta que la mantiene en órbita terrestre.