Leyes de Newton: fuerza gravitatoria, mareas y velocidad de escape

Afirmación: «Ícaro, una nave espacial, pasa por el punto medio entre la Luna y la Tierra; por lo tanto, la fuerza gravitacional entre la Luna y la Tierra es cero.» (Falso)

1. La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra sobre la Luna (o recíprocamente) está dada por la ley de Newton de la gravitación universal: F = G\,\dfrac{M_T\, M_L}{r^{2}}, donde M_T y M_L son las masas de la Tierra y la Luna y r es la distancia entre sus centros.
2. Observa que esa expresión no contiene ninguna variable referida a la nave: la fuerza entre dos astros depende únicamente de sus masas y de la distancia que los separa.
3. Por lo tanto, la presencia o el paso de la nave por el punto medio no modifica en absoluto la atracción mutua Tierra–Luna, que es enorme y no se cancela.
4. Lo único que ocurre en el punto medio es que sobre la nave actúan dos fuerzas: la de la Tierra, F_T = G\dfrac{M_T\, m}{(r/2)^{2}}, y la de la Luna, F_L = G\dfrac{M_L\, m}{(r/2)^{2}}. Como M_T \gg M_L, se tiene F_T > F_L, es decir, la fuerza neta sobre la nave no es cero y la nave es atraída más fuertemente por la Tierra.

Afirmación: «Cuando existe Luna llena la marea sube en los océanos, lo que resulta beneficioso para los pescadores.» (Verdadero)

1. Las mareas son el efecto de la atracción gravitatoria de la Luna (y en menor medida del Sol) sobre los océanos terrestres, sumado a la fuerza centrífuga del sistema Tierra–Luna.
2. En luna llena (y también en luna nueva) la Luna, la Tierra y el Sol están alineados: los efectos de ambos astros se suman, y se producen las llamadas mareas de sizigia, más altas que las de cuadratura.
3. Durante la pleamar (subida de la marea) el agua se acumula cerca de la costa, acercando el alimento y facilitando la pesca en zonas poco profundas; por eso se considera un fenómeno favorable a los pescadores.
4. En la marea baja (bajamar) el agua retrocede y quedan al descubierto zonas que en otros momentos están sumergidas.

Enunciado del libro: La velocidad de escape es aquella con la que debe lanzarse un cuerpo para que llegue al infinito con velocidad cero, es decir, la velocidad mínima con la que debe lanzarse un cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de la Tierra o de cualquier otro astro; el proyectil no vuelve a caer y queda en reposo a una distancia suficientemente grande (en principio infinita) de la Tierra o del astro.

Las actividades de este numeral se desarrollan en la página siguiente (210). Aquí se deja la formulación que las respiderá:

1. La energía mecánica total del cuerpo (cinética + potencial gravitatoria) debe ser mayor o igual a cero cuando el cuerpo se aleja infinitamente, donde U(\infty) = 0: \frac{1}{2}mv_{esc}^{2} - \frac{G M m}{R} \ge 0.
2. El caso límite (velocidad final cero en el infinito) se obtiene igualando a cero: \frac{1}{2}mv_{esc}^{2} = \frac{G M m}{R}.
3. Se cancela la masa m del proyectil (la velocidad de escape no depende de la masa lanzada): v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.
4. Para la Tierra: G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^{2}/\text{kg}^{2}, M = 5{,}97 \times 10^{24} \, \text{kg}, R = 6{,}37 \times 10^{6} \, \text{m}: v_{esc} = \sqrt{\frac{2(6{,}67 \times 10^{-11})(5{,}97 \times 10^{24})}{6{,}37 \times 10^{6}}} \approx \sqrt{1{,}25 \times 10^{8}} \approx 11{,}2 \times 10^{3} \, \text{m/s}.