Tres esferas de billar de masa m = 250 g están en las esquinas de un triángulo rectángulo con a = 40 cm, b = 30 cm y c = 50 cm. Calcula las fuerzas gravitacionales que actúan sobre la esfera del ángulo recto y su resultante.

F^R ≈ 5,31 × 10^-11 N a 29,4^ del lado b

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Masa del Sol por el período de la Tierra y fuerzas gravitacionales en un juego de billar

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Respuesta rápida

Masa del Sol: M ≈ 2,0 × 10³⁰ kg. 6) F₁₂ ≈ 2,61 × 10⁻¹¹ N (hacia m₂); F₁₃ ≈ 4,63 × 10⁻¹¹ N (hacia m₃); resultante sobre m₁ ≈ 5,31 × 10⁻¹¹ N a 29,4° del lado b; F₂₃ ≈ 1,67 × 10⁻¹¹ N.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 215

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 5

La Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con radio $r = 150$ millones de km y período $T = 365$ días. Se pide la masa del Sol, $M$ .

Datos en SI: $r = 150 \times 10^{6} \, \text{km} = 1{,}5 \times 10^{11} \, \text{m}$ .
Periodo en segundos: $T = 365 \, \text{d} \times 24 \, \text{h/d} \times 3600 \, \text{s/h} = 3{,}156 \times 10^{7} \, \text{s}$ .
Modelo físico: la fuerza gravitacional entre Sol y Tierra es la que provee la fuerza centrípeta de la órbita circular: $\frac{G M m}{r^{2}} = m \frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}$
Se cancela la masa de la Tierra, $m$ , y se despeja $M$ : $M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}$
Sustitución: con $G = 6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$ , $r^{3} = (1{,}5 \times 10^{11})^{3} = 3{,}375 \times 10^{33} \, \text{m}^{3}$ y $T^{2} = (3{,}156 \times 10^{7})^{2} = 9{,}96 \times 10^{14} \, \text{s}^{2}$ : $M = \frac{(39{,}48)(3{,}375 \times 10^{33})}{(6{,}67 \times 10^{-11})(9{,}96 \times 10^{14})} = \frac{1{,}332 \times 10^{35}}{6{,}64 \times 10^{4}}$

Ejercicio 6

Resultado:

$M \approx 2{,}0 \times 10^{30} \, \text{kg} \approx 2 \times 10^{33} \, \text{g}$

Respuesta

$M \approx 2{,}0 \times 10^{30} \, \text{kg}$ , masa del Sol.

Ejercicio 6

Tres esferas de billar idénticas, cada una con masa $m = 250 \, \text{g} = 0{,}25 \, \text{kg}$ , están en las esquinas de un triángulo rectángulo de lados $a = 40 \, \text{cm} = 0{,}40 \, \text{m}$ , $b = 30 \, \text{cm} = 0{,}30 \, \text{m}$ y hipotenusa $c = 50 \, \text{cm} = 0{,}50 \, \text{m}$ (lado $a$ y lado $b$ perpendiculares en $m_1$ ).

Parte 6.a

Fuerza gravitacional sobre $m_1$ debida a $m_2$ ($F_{12}$)

Ley de gravitación universal: $F = \dfrac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$ .
Sustitución con $r = a = 0{,}40 \, \text{m}$ : $F_{12} = \frac{(6{,}67 \times 10^{-11})(0{,}25)(0{,}25)}{(0{,}40)^{2}} = \frac{4{,}17 \times 10^{-11}}{0{,}16}$
Resultado: $F_{12} \approx 2{,}61 \times 10^{-11} \, \text{N}$ , dirigida hacia $m_2$ (hacia arriba, $+y$ ).

Parte 6.b

Fuerza gravitacional sobre $m_1$ debida a $m_3$ ($F_{13}$)

Sustitución con $r = b = 0{,}30 \, \text{m}$ : $F_{13} = \frac{(6{,}67 \times 10^{-11})(0{,}25)(0{,}25)}{(0{,}30)^{2}} = \frac{4{,}17 \times 10^{-11}}{0{,}09}$
Resultado: $F_{13} \approx 4{,}63 \times 10^{-11} \, \text{N}$ , dirigida hacia $m_3$ (hacia la derecha, $+x$ ).

Parte 6.c

Resultante de ambas fuerzas sobre $m_1$

Como $F_{12} \perp F_{13}$ , el módulo de la resultante es: $F^{R} = \sqrt{F_{12}^{2} + F_{13}^{2}} = \sqrt{(2{,}61 \times 10^{-11})^{2} + (4{,}63 \times 10^{-11})^{2}}$
$F^{R} = \sqrt{6{,}81 \times 10^{-22} + 21{,}44 \times 10^{-22}} = \sqrt{28{,}25 \times 10^{-22}}$
Resultado: $F^{R} \approx 5{,}31 \times 10^{-11} \, \text{N}$ .
Dirección: el ángulo $\theta$ que forma con el lado $b$ (eje $x$ ) es $\theta = \arctan\left(\frac{F_{12}}{F_{13}}\right) = \arctan\left(\frac{2{,}61 \times 10^{-11}}{4{,}63 \times 10^{-11}}\right) = \arctan(0{,}5625)$ $\theta \approx 29{,}4^{\circ}$ Nota: como $\dfrac{F_{12}}{F_{13}} = \dfrac{b^{2}}{a^{2}}$ , $\theta$ es fijo por la geometría del triángulo.

Parte 6.d

Fuerza entre $m_2$ y $m_3$ (hipotenusa, control)

$F_{23} = \frac{(6{,}67 \times 10^{-11})(0{,}25)(0{,}25)}{(0{,}50)^{2}} = \frac{4{,}17 \times 10^{-11}}{0{,}25} \approx 1{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}$

Respuestas: $F_{12} \approx 2{,}61 \times 10^{-11} \, \text{N}$ ; $F_{13} \approx 4{,}63 \times 10^{-11} \, \text{N}$ ; $F^{R} \approx 5{,}31 \times 10^{-11} \, \text{N}$ a $29{,}4^{\circ}$ del lado $b$ .

Contenido de la página

Página 214 — Texto de Física

5. Planteamiento

Si se sabe que la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con un radio de 150 millones de kilómetros y que su período es de 365 días, determina cuál es la masa del Sol.

6. Planteamiento

En la figura a continuación se presenta una situación específica en un juego de billar, en el que las tres esferas de billar tienen una masa de 250 gramos y se colocan en las esquinas de la mesa. Las longitudes del triángulo rectángulo son $a = 40 \, \text{cm}$ ; $b = 30 \, \text{cm}$ y $c = 50 \, \text{cm}$ . Con base en esta información, calculo lo siguiente:

(La figura muestra tres esferas $m_1$ , $m_2$ , $m_3$ en los vértices de un triángulo rectángulo: $m_1$ en el ángulo recto, $m_2$ a distancia $a$ por encima, $m_3$ a distancia $b$ a la derecha, unidos por la hipotenusa $c$ ; se representan las fuerzas $F_1^2$ , $F_1^3$ y su resultante $F^R$ con el ángulo $\theta$ .)

Fuente: (Serway, 2008). Fuente imagen: https://n9.cl/p9dslr

Ejemplos resueltos

Un satélite describe una órbita circular de radio 2000 km con período 2 h. Calcula la masa del cuerpo central (G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²).

$r = 2 \times 10^{6} \, \text{m}$ ; $T = 2 \times 3600 = 7200 \, \text{s}$ .
$M = \dfrac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}} = \dfrac{(39{,}48)(8 \times 10^{18})}{(6{,}67 \times 10^{-11})(5{,}18 \times 10^{7})} = \dfrac{3{,}16 \times 10^{20}}{3{,}46 \times 10^{-3}}$
$M \approx 9{,}1 \times 10^{22} \, \text{kg}$ (menor que la masa de la Tierra, como corresponde a una órbita de menor radio y periodo corto para un cuerpo ligero).

Tablas (7)

| Cantidad | Valor en SI |

|---|---|

| Radio orbital de la Tierra (r) | $1{,}5 \times 10^{11} \, \text{m}$ |

| Período orbital (T) | $3{,}156 \times 10^{7} \, \text{s}$ |

| Constante de gravitación (G) | $6{,}67 \times 10^{-11} \, \text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}$ |

| Masa de cada esfera (m) | $0{,}25 \, \text{kg}$ |

| Lados del triángulo (a, b, c) | $0{,}40 \, \text{m};\ 0{,}30 \, \text{m};\ 0{,}50 \, \text{m}$ |

Diagramas (2)

flowchart TD
  A[Datos: r=1.5x10^11 m, T=365 d=3.156x10^7 s] --> B[Fuerza gravitacional = fuerza centrípeta: G M m / r² = m 4π²r / T²]
  B --> C[Despejar M = 4π²r³ / (G T²)]
  C --> D[Sustitución numérica]
  D --> E[M ≈ 2.0x10^30 kg = masa del Sol]

flowchart LR
  S1[m₁ = m₂ = m₃ = 0.25 kg, triángulo 30-40-50 cm] --> S2[F₁₂ = Gm²/a² = 2.61x10⁻¹¹ N]
  S1 --> S3[F₁₃ = Gm²/b² = 4.63x10⁻¹¹ N]
  S2 --> S4[Resultante: F^R = √(F₁₂²+F₁₃²) = 5.31x10⁻¹¹ N a 29.4° del lado b]
  S3 --> S4

Fórmulas y ecuaciones

M = $\dfrac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}$

F = $\dfrac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

$F^{R}$ = $\sqrt{F_{12}^{2} + F_{13}^{2}}$

F = $\frac{G m_{1} m_{2}}{r^{2}}$

$F_{centr$ $\acute{i}$ peta} = m $\frac{4\pi^{2} r}{T^{2}}$

M = $\frac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}$

$F^{R}$ = $\sqrt{F_{12}^{2} + F_{13}^{2}}$

$\theta$ = $\arctan\left(@@MATH_0@@\right)$

Glosario (5)

Ley de gravitación universal: Todo punto de materia atrae a otro con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa: F = G m₁ m₂ / r².
Fuerza centrípeta: Fuerza dirigida hacia el centro de una trayectoria circular, necesaria para mantener al cuerpo en su órbita; para órbita circular F = m 4π²r / T².
Constante de gravitación universal (G): Constante de proporcionalidad de la ley de Newton de la gravitación, con valor 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².
Período orbital: Tiempo que tarda un cuerpo en completar una revolución completa alrededor de otro; para la Tierra, 365 días.
Resultante de fuerzas: Fuerza única equivalente al conjunto de fuerzas actuantes sobre un cuerpo; si dos fuerzas son perpendiculares, su módulo es √(F₁² + F₂²).

Preguntas para practicar

¿Por qué la masa de la Tierra no aparece en la expresión final al calcular la masa del Sol?

Porque la fuerza gravitacional y la fuerza centrípeta son proporcionales a la masa del planeta; al igualarlas, esa masa se cancela en el numerador y el denominador. Por eso el resultado depende solo de G, del radio y del período orbital, es decir, de datos observables del movimiento.

Si las esferas de billar tuvieran masas diferentes, ¿cambiaría el ángulo de la resultante sobre m₁?

Sí. El ángulo depende de la razón F₁₂/F₁₃ = (m₂/m₁)(b²/a²); si m₂ y m₃ difieren, esa razón deja de ser igual a b²/a² y el ángulo se modifica. Con masas iguales el ángulo queda determinado únicamente por la geometría del triángulo.

Temas y conceptos clave

Aplicación de la ley de gravitación universal a sistemas planetariosDeterminación de la masa del Sol a partir de datos orbitalesCálculo de fuerzas gravitacionales entre múltiples cuerposSuma vectorial de fuerzas perpendiculares (triángulo rectángulo)Ley de gravitación universalFuerza centrípeta en órbita circularPeríodo orbitalConstante de gravitación universal G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²Resultante de fuerzas perpendicularesÁngulo de la resultante

Fuentes y referencias

Serway, R. (2008). Física para ciencias e ingeniería (Problemas de gravitación universal).
https://n9.cl/p9dslr (imagen de la figura)

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Figuras de la página (1)

Caja vacía para que el estudiante desarrolle el ejercicio 5 (masa del Sol). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

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¿Cómo se suma vectorialmente dos fuerzas gravitacionales perpendiculares?

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📌 Antes de leer esto

• Ley de gravitación universal F = G·m₁·m₂/r²
• Expresión de la fuerza centrípeta F = m·v²/r o F = m·4π²r/T²
• Conversión de unidades (km a m, días a segundos, gramos a kilogramos)
• Teorema de Pitágoras y trigonometría básica (tangente y arctangente)

Siguiente tema sugerido

Constante de gravitación universal y determinación de masas astronómicas; campos y potencial gravitatorio.

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 738 caracteres

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si se sabe que la Tierra describe una órbita circular alrededor del Sol con un radio de 150 millones de kilómetros y que su período es de 365 días, determina cuál es la masa del Sol.