Velocidad de escape: completar la tabla de cuerpos astronómicos

La rapidez de escape se obtiene al igualar la energía cinética mínima con la energía potencial gravitatoria en la superficie del cuerpo:

\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G M m}{R} \quad \Rightarrow \quad v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Datos terrestres de referencia: M_{\oplus} = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg} y R_{\oplus} = 6,37 \times 10^{6} \, \text{m}.

v_{\text{esc, }\oplus} = \sqrt{\frac{2(6,674 \times 10^{-11})(5,97 \times 10^{24})}{6,37 \times 10^{6}}} = \sqrt{1,251 \times 10^{8}} \approx 11{,}2 \times 10^{3} \, \text{m/s} \approx 11{,}2 \, \text{km/s}

Si M = m \, M_{\oplus} y R = r \, R_{\oplus}, entonces

v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2G(m M_{\oplus})}{r R_{\oplus}}} = v_{\text{esc, }\oplus} \sqrt{\frac{m}{r}} = (11{,}2 \, \text{km/s}) \sqrt{\frac{m}{r}}

Esta es la regla que uso en cada fila: calculo el cociente m/r y multiplico su raíz cuadrada por 11{,}2 km/s.

Sol (m = 318, r = 11):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{318}{11} = 28{,}91
2. \sqrt{28{,}91} = 5{,}377
3. v = 11{,}2 \times 5{,}377 \approx 60{,}2 \, \text{km/s}

Sol (a la distancia de la órbita terrestre) (m = 95{,}2, r = 9{,}1):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{95{,}2}{9{,}1} = 10{,}46
2. \sqrt{10{,}46} = 3{,}234
3. v = 11{,}2 \times 3{,}234 \approx 36{,}2 \, \text{km/s}

Júpiter (m = 17{,}1, r = 3{,}9):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{17{,}1}{3{,}9} = 4{,}385
2. \sqrt{4{,}385} = 2{,}094
3. v = 11{,}2 \times 2{,}094 \approx 23{,}4 \, \text{km/s}

Saturno (m = 14{,}5, r = 4):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{14{,}5}{4} = 3{,}625
2. \sqrt{3{,}625} = 1{,}904
3. v = 11{,}2 \times 1{,}904 \approx 21{,}3 \, \text{km/s}

Neptuno (m = 1, r = 1):

1. \dfrac{m}{r} = 1
2. \sqrt{1} = 1
3. v = 11{,}2 \times 1 = 11{,}2 \, \text{km/s} (coincide con el valor de referencia terrestre, como la tabla declara la Tierra como unidad de comparación de este ejercicio)

Urano (m = 0{,}82, r = 0{,}95):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{0{,}82}{0{,}95} = 0{,}8632
2. \sqrt{0{,}8632} = 0{,}9291
3. v = 11{,}2 \times 0{,}9291 \approx 10{,}4 \, \text{km/s}

Tierra (m = 0{,}11, r = 0{,}53):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{0{,}11}{0{,}53} = 0{,}2075
2. \sqrt{0{,}2075} = 0{,}4555
3. v = 11{,}2 \times 0{,}4555 \approx 5{,}10 \, \text{km/s}

Venus (m = 0{,}055, r = 0{,}38):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{0{,}055}{0{,}38} = 0{,}1447
2. \sqrt{0{,}1447} = 0{,}3804
3. v = 11{,}2 \times 0{,}3804 \approx 4{,}26 \, \text{km/s}

Marte (m = 0{,}0123, r = 0{,}27):

1. \dfrac{m}{r} = \dfrac{0{,}0123}{0{,}27} = 0{,}04556
2. \sqrt{0{,}04556} = 0{,}2134
3. v = 11{,}2 \times 0{,}2134 \approx 2{,}39 \, \text{km/s}

Observación pedagógica: la rapidez de escape aumenta con la masa y disminuye con el radio; por eso los planetas más masivos (Júpiter, Saturno) tienen rapidez de escape alta, mientras que cuerpos pequeños y poco masivos (Marte, Venus, la "Tierra" de esta fila) permiten que un móvil escape con menos energía.