Realizar un ejercicio práctico para demostrar las Leyes de Kepler con objetos cotidianos (pelota, cuerda, marcadores, cronómetro).

Materiales

• Pelota (representa un planeta o cuerpo en órbita).
• Cuerda.
• Marcadores o cinta adhesiva.
• Reloj o cronómetro.

Trazar con la cuerda una órbita elíptica en el suelo y observar la trayectoria de la pelota.

1. Los focos de la elipse se marcan clavando o señalando dos puntos F_1 y F_2 separados por 2c.
2. Se ata la cuerda a ambos focos; si la longitud total de cuerda es 2a, la trayectoria que recorre el extremo tensado cumple la definición de elipse: la suma de las distancias a los focos es constante, d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a.
3. De ahí se obtiene la relación entre el semieje mayor a, el semieje menor b y la distancia focal c:

c^{2}=a^{2}-b^{2}, \qquad e=\frac{c}{a}<1

4. Al desplazar la pelota a lo largo del trazo, esta se ajusta a la forma elíptica, confirmando que la órbita no es circular sino elíptica y que el foco (el «centro» del experimento, análogo al Sol) está desplazado respecto al centro geométrico.

Marcar varios puntos de la órbita, cronometrar los tiempos y comparar las áreas barridas.

1. Se divide la órbita en sectores acotados por los marcadores y se mide el tiempo \Delta t que tarda la pelota en recorrer cada sector.
2. La Ley de Áreas establece que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales:

\frac{\Delta A}{\Delta t}=\text{constante}=\frac{L}{2m}

3. Para un sector triangular, el área se estima como \Delta A \approx \tfrac{1}{2}\,r\,\Delta s, donde \Delta s es el arco recorrido.
4. Al estar el foco cerca de F_1, los sectores cortos (cerca del perihelio, con r pequeño) requieren arcos grandes \Delta s para igualar área, es decir, la pelota va más rápido. Lejos del foco (afelio, r grande) recorre arcos menores en el mismo tiempo.

Cambiar la longitud de la cuerda (el semieje mayor a) y medir el período orbital T.

1. Para cada longitud de cuerda se obtiene un semieje mayor distinto a_1, a_2, a_3,\dots y se cronometra el periodo T_1, T_2, T_3,\dots.
2. Kepler propuso que

T^{2}\propto a^{3}

3. Con la tercera ley de Newton y la ley de gravitación universal se demuestra la constante de proporcionalidad:

T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\,a^{3}

4. Al graficar T^{2} versus a^{3} se obtiene una recta que pasa por el origen, cuya pendiente es 4\pi^{2}/(GM): así se verifica la relación empíricamente.

Si la órbita de referencia es la de la Tierra (a=1\,\text{UA}, T=1\,\text{año}), calcular el periodo de un planeta con a=2\,\text{UA}.

1. Se aplica T^{2}=k\,a^{3}; como en la Tierra 1^{2}=k\cdot1^{3}, entonces k=1\,\text{año}^{2}/\text{UA}^{3}.
2. Sustitución: T^{2}=1\cdot(2)^{3}=8.
3. Se despeja: T=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}83\,\text{años}.