Densidad de la Tierra con la ley de la gravitación universal

Enunciado: Determina la densidad de la Tierra, tomando en cuenta la gravedad como g = 9,81 ext{ m/s}^{2}, la constante de gravitación G = 6,67 imes 10^{-11} ext{ N·m}^{2}/ ext{kg}^{2} y el radio de la Tierra R = 6,37 imes 10^{6} ext{ m}.

1. La densidad se define como la masa dividida entre el volumen: \rho = \frac{M}{V}
2. Para una esfera, el volumen es: V = \frac{4}{3}\pi R^{3}
3. Para un cuerpo esférico, la gravedad en la superficie se expresa con la ley de gravitación universal, donde la masa de la Tierra M se ubica en el centro y la distancia es el radio R: F = G\frac{M\,m}{R^{2}} \quad \text{y} \quad F = m\,g
4. Igualando ambas expresiones de la fuerza: m\,g = G\frac{M\,m}{R^{2}}
5. Se cancela la masa de prueba m (esta es la masa de un objeto en la superficie): g = G\frac{M}{R^{2}}
6. Se despeja la masa de la Tierra M: M = \frac{g\,R^{2}}{G}
7. Se sustituyen los valores dados, g = 9,81 ext{ m/s}^{2}, R = 6,37 imes 10^{6} ext{ m} y G = 6,67 imes 10^{-11} ext{ N·m}^{2}/ ext{kg}^{2}: M = \frac{(9,81)(6,37 \times 10^{6})^{2}}{6,67 \times 10^{-11}}
8. Se calcula el cuadrado del radio: R^{2} = (6,37 \times 10^{6})^{2} = 40,577 \times 10^{12} = 4,0577 \times 10^{13} ext{ m}^{2}
9. Se multiplica por la gravedad: M = \frac{(9,81)(4,0577 \times 10^{13})}{6,67 \times 10^{-11}} = \frac{3,9806 \times 10^{14}}{6,67 \times 10^{-11}}
10. Se realiza la división de potencias de 10 (10^{14}/10^{-11} = 10^{25}): M = 0,5968 \times 10^{25} = 5,968 \times 10^{24} ext{ kg}
11. Se calcula el volumen de la Tierra como esfera con R = 6,37 \times 10^{6} ext{ m}: V = \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{4}{3}\pi (6,37 \times 10^{6})^{3} R^{3} = (6,37 \times 10^{6})^{3} = 2,5847 \times 10^{20} ext{ m}^{3}
12. Se sustituye: V = 4,1888 \times (2,5847 \times 10^{20}) = 1,0827 \times 10^{21} ext{ m}^{3}
13. Finalmente se aplica la definición de densidad: \rho = \frac{M}{V} = \frac{5,968 \times 10^{24} ext{ kg}}{1,0827 \times 10^{21} ext{ m}^{3}}
14. Se opera: \rho = 5,512 \times 10^{3} ext{ kg/m}^{3} \approx 5,5 \times 10^{3} ext{ kg/m}^{3}

Resultado simplificado (fórmula directa): Sustituyendo M = \dfrac{gR^{2}}{G} en \rho = \dfrac{M}{(4/3)\pi R^{3}} se obtiene una expresión que no depende de M ni de V por separado: \rho = \frac{3g}{4\pi G R} = \frac{3(9,81)}{4\pi (6,67 \times 10^{-11})(6,37 \times 10^{6})} = \frac{29,43}{5,339 \times 10^{-3}} \approx 5,51 \times 10^{3} ext{ kg/m}^{3}