La velocidad de escape es la velocidad mínima que debe tener un cuerpo para abandonar definitivamente el campo gravitatorio de un planeta o estrella sin necesidad de propulsion adicional.

1. Un cuerpo proyectado hacia arriba pierde velocidad por la acción de la gravedad; su energía cinética se transforma en energía potencial gravitatoria.
2. Si la velocidad inicial es pequeña, el cuerpo llega a una altura máxima y regresa: todavía está "atrapado" por el campo.
3. La velocidad de escape es la que justamente agota toda la energía cinética en llegar a la "infinidad", donde la energía potencial gravitatoria se hace cero: E_{k} = E_{p} \Rightarrow \frac{1}{2}mv_{e}^{2} = \frac{GMm}{r}.
4. No depende de la masa del cuerpo que escapa, sino solo de la masa del cuerpo que genera el campo (M) y de la distancia a su centro (r).

Enunciado: Mediante la tercera ley de Kepler y la fuerza gravitatoria, demuestro v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}, tomando la fuerza centrípeta equivalente a la fuerza gravitacional.

1. La ley de gravitación universal de Newton: una masa m a una distancia r de una masa M experimenta la fuerza F_{g} = \frac{GMm}{r^{2}}
2. En un movimiento circular la fuerza centrípeta que exige la trayectoria es F_{c} = \frac{mv^{2}}{r}
3. El enunciado pide igualar ambas fuerzas: \frac{mv^{2}}{r} = \frac{GMm}{r^{2}}
4. Simplificamos la masa m del cuerpo en órbita (aparece en ambos miembros): v^{2} = \frac{GM}{r}
5. Despejamos v, obteniéndose la velocidad orbital (circular): v_{o} = \sqrt{\frac{GM}{r}}
6. La tercera ley de Kepler (T^{2} \propto r^{3}) relaciona el período y el radio de la órbita: al aumentar r, aumenta T y, por el paso 5, disminuye la velocidad. Sustituyendo el periodo circular T = \frac{2\pi r}{v_{o}} en la tercera ley se obtiene, de forma consistente, v_{o} = \sqrt{\frac{GM}{r}}.
7. Para que el cuerpo no solo gire sino que escape, su energía cinética debe poder transformarse en la energía potencial gravitatoria total. Igualando energías: \frac{1}{2}mv_{e}^{2} = \frac{GMm}{r}
8. Despejamos v_{e}: v_{e}^{2} = \frac{2GM}{r} \qquad \Longrightarrow \qquad \boxed{v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}}
9. Conclusión: la velocidad de escape es \sqrt{2} veces la velocidad orbital, es decir, v_{e} = \sqrt{2}\,v_{o}.

1. Masa de la Tierra (valor aceptado por la ONU/IAU): M_{\oplus} \approx 5{,}9722 \times 10^{24}\ \text{kg}
2. Radio ecuatorial (valor medio): R_{\oplus} \approx 6371\ \text{km} = 6{,}371 \times 10^{6}\ \text{m}
3. Con estas magnitudes y G = 6{,}674 \times 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^{2}/\text{kg}^{2}: v_{e} = \sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}} = \sqrt{\frac{2(6{,}674 \times 10^{-11})(5{,}9722 \times 10^{24})}{6{,}371 \times 10^{6}}}
4. El numerador vale 7{,}978 \times 10^{14}; dividiendo por 6{,}371 \times 10^{6} se obtiene 1{,}2522 \times 10^{8}.
5. Al calcular la raíz: v_{e} \approx \sqrt{1{,}2522 \times 10^{8}} \approx 1{,}119 \times 10^{4}\ \text{m/s} \approx 11{,}2\ \text{km/s}