Órbita de la Tierra alrededor del Sol: leyes de Kepler y velocidad orbital

Dada una configuración de tres bolas (una blanca de masa m_1 y dos otras bolas), el vector de la fuerza gravitatoria sobre m_1 es la vector suma de las fuerzas que ejercen individualmente las otras dos bolas sobre m_1:

1. Cada par de bolas interactúa según la ley de Newton de la gravitación universal: \vec{F}_{i\to 1} = -G\,\dfrac{m_i m_1}{r_{i1}^{2}}\,\hat{u}_{i1}, con i=2,3, donde \hat{u}_{i1} es el vector unitario que apunta desde m_1 hacia m_i.
2. La fuerza neta sobre la bola blanca es \vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_{2\to 1} + \vec{F}_{3\to 1}.
3. Geométricamente: se dibuja el segmento m_2–m_1 y se traza \vec{F}_{2\to 1} desde m_1 apuntando hacia m_2; luego \vec{F}_{3\to 1} desde m_1 apuntando hacia m_3; el vector resultantese obtiene por la regla del paralelogramo (o del triángulo), colocando el origen del resultado en m_1.

El vector unitario de la dirección es el vector de la fuerza resultante dividido entre su módulo:

1. \vec{F}_{\text{net}} = \vec{F}_{2\to 1} + \vec{F}_{3\to 1}.
2. F_{\text{net}} = |\vec{F}_{\text{net}}| (módulo, en newtons).
3. \hat{u} = \dfrac{\vec{F}_{\text{net}}}{F_{\text{net}}}, de modo que |\hat{u}| = 1 y mantiene exactamente la misma dirección y sentido que \vec{F}_{\text{net}}.

1. La dirección de una fuerza gravitatoria depende solo de la geometría de la distribución de masas (posiciones relativas) y del signo de la atracción; no depende de la magnitud de la constante G.
2. Al trasladar la configuración a la Luna, se conservan las masas m_1, m_2, m_3 y las distancias relativas entre las bolas, por lo que \vec{F}_{2\to 1} y \vec{F}_{3\to 1} cambian de magnitud (porque G_{\text{Luna}} y la gravedad lunar son distintos) pero conservan su dirección.
3. Al sumar dos vectores que mantienen dirección y sentido, el resultado mantiene idéntica dirección.

Se pide graficar la trayectoria orbital de la Tierra respecto al Sol.

1. La órbita de la Tierra es una elipse (Kepler I) con el Sol en uno de sus focos, no en el centro.
2. El punto más cercano al Sol es el perihelio (r_p = 147\times 10^{6}\,\text{km}) y el más lejano es el afelio (r_a = 152\times 10^{6}\,\text{km}).
3. La órbita es casi circular: la excentricidad es e = \dfrac{r_a - r_p}{r_a + r_p} = \dfrac{5}{299} \approx 0{,}017, por eso en un dibujo a escala se parece casi a un círculo.

flowchart LR
  S((Sol · foco)) --- P[Perihelio<br/>147×10⁶ km<br/>30,3 km/s]
  P --> A[Afelio<br/>152×10⁶ km<br/>≈29,3 km/s]
  A --> P

1. Según Kepler II (segunda ley), un radio vector describe áreas iguales en tiempos iguales: \dfrac{dA}{dt} = \text{constante}.
2. Como \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r v \sin\alpha, con \alpha ángulo entre \vec{r} y \vec{v}, el producto rv\sin\alpha debe mantenerse constante.
3. Como r varía entre 147\times 10^{6}\,\text{km} y 152\times 10^{6}\,\text{km}, v debe variar en sentido contrario para que el producto se conserve.

Se aplica la conservación del momento angular (o la segunda ley de Kepler, equivalentes en este caso de fuerza central):

1. Segunda ley de Kepler: \dfrac{dA}{dt} = \dfrac{1}{2} r v \sin\alpha = \text{constante}.
2. En el perihelio y en el afelio el vector velocidad es perpendicular al radio, así que \sin\alpha = 1 en ambos casos.
3. Por lo tanto: r_p v_p = r_a v_a.
4. Despejamos la velocidad en el afelio: v_a = v_p\,\dfrac{r_p}{r_a}.
5. Sustituimos los valores: v_a = 30{,}3\,\text{km/s} \times \dfrac{147\times 10^{6}\,\text{km}}{152\times 10^{6}\,\text{km}}.
6. Los factores 10^{6} se cancelan: v_a = 30{,}3 \times \dfrac{147}{152} = 30{,}3 \times 0{,}9671.
7. v_a \approx 29{,}3\,\text{km/s}.

1. Kepler II establece que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
2. En tiempos iguales \Delta t, el sector recorrido en el perihelio (radio corto) debe tener la misma área que el sector recorrido en el afelio (radio largo).
3. Para que la misma área se "cubra" en el mismo tiempo, el arco recorrido en el perihelio es más largo, es decir, el cuerpo avanza más distancia por unidad de tiempo.
4. Por tanto, la velocidad es mayor en el perihelio y menor en el afelio.