Leyes de Kepler aplicadas al año marciano y densidad interior terrestre

Mediante las leyes de Kepler, indico ¿cuántos días tiene un año en Marte?

1. La tercera ley de Kepler (forma de ley de proporcionalidad) establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio orbital: T^{2}\propto r^{3}\quad\Longrightarrow\quad T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}
2. Al dividir la ecuación para Marte entre la de la Tierra (el Sol es el mismo centro, M idéntico): \frac{T_{M}^{2}}{T_{T}^{2}}=\frac{r_{M}^{3}}{r_{T}^{3}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{T_{M}}{T_{T}}=\left(\frac{r_{M}}{r_{T}}\right)^{3/2}
3. Sustitución con r_{M}/r_{T}=0{,}65: \frac{T_{M}}{T_{T}}=(0{,}65)^{3/2}=0{,}65\times\sqrt{0{,}65}=0{,}65\times0{,}8062\approx0{,}524
4. Usando T_{T}=365 días terrestres: T_{M}=0{,}524\times365\ \text{días}\approx191,3\ \text{días}

Si en la Tierra nos encontramos en el siglo XXI, señalo ¿cuántos siglos habrán pasado en Marte, tomando en cuenta el año marciano?

1. El siglo XXI empieza en el año 2000 de la Tierra. Tomamos ese instante como referencia inicial.
2. Un año marciano equivale a 0{,}524 años terrestres, es decir, 1 año terrestre equivale a: \frac{1}{0{,}524}\approx1,91\ \text{años marcianos}
3. En 2000 años terrestres transcurridos desde el inicio de la era común han pasado: N_{M}=\frac{2000}{0{,}524}\approx3817\ \text{años marcianos}
4. Al convertir a siglos marcianos: \frac{3817}{100}\approx38{,}2\ \text{siglos marcianos}
5. Interpretación: mientras en la Tierra se contabilizan 20 siglos, en Marte habrían transcurrido cerca de 38 siglos, casi el doble, porque el año marciano es más corto.

Con base en el número de días que tiene un año en Marte, elaboro, de manera creativa, un calendario anual, tomando en cuenta que los meses tienen 30 días.

1. Un año marciano calculado: 191 días.
2. Si cada mes tiene 30 días, el número de meses completos es: n=\frac{191}{30}=6\ \text{meses con }180\ \text{días}
3. Sobran días: 191-180=11\ \text{días adicionales}
4. Diseño del calendario: 6 meses de 30 días (180 días) más un período complementario de 11 días (una "estación" o "mes corto" marciano), para un total de 191 días.
5. Con los meses reales de Marte (sol) se podrían renombrar los 6 meses: Aeris, Boreas, Ceres, Demetra, Eolo y Fauna.

Nota de verificación: Con los datos reales de Marte, el radio orbital es 1{,}52 veces el terrestre y el año dura 687 días terrestres, tal como indica el recuadro "¿Sabías qué?"; el valor 0{,}65 y los 191 días corresponden a los datos hipotéticos planteados por el problema.