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Velocidad de un carrito en una curva: cuadrantes del plano cartesiano

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Respuesta rápida

En el cuadrante III: en r2 el carrito avanza hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo, por lo que $v_x<0$ y $v_y<0$ . Vector tangente a la curva con ambos componentes negativos.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 25

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 3

a

Enunciado: Tomando en cuenta la posición del carrito en la figura, indico en qué cuadrante se encuentra la velocidad del juguete cuando está en r2; justifico mi respuesta y la dibujo.

Ubico el sistema de referencia. En la figura el origen de los ejes está en el punto donde la pista cambia de dirección ("Estado Cambio de dirección"): el eje $x$ positivo apunta hacia la derecha y el eje $y$ positivo hacia arriba. Por lo tanto: cuadrante I $(+,+)$ , II $(-,+)$ , III $(-,-)$ , IV $(+,-)$ .
Recuerdo la definición de velocidad. La velocidad es una magnitud vectorial cuya dirección y sentido coinciden con la tangente a la trayectoria en el punto considerado, y apuntan hacia donde se mueve el cuerpo: $\vec{v}$ es tangente a la órbita.
Analizo el sentido del movimiento en r2. El carrito baja por la rampa, toma la curva en U a la derecha y, al llegar a r2 (parte baja de la curva), ya está girando hacia la izquierda para regresar por el tramo inferior de la pista. Observando la figura: en la parte derecha de la curva la velocidad apunta hacia abajo (flecha azul $V$ ), y a medida que avanza hacia r2 va rotando hacia la izquierda; en r2 el vector es tangente, apuntando hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo.
Descompongo el vector velocidad. En r2:
- componente horizontal: $v_{x} < 0$ (va hacia la izquierda, sentido negativo del eje $x$ );
- componente vertical: $v_{y} < 0$ (sigue descendiendo levemente, sentido negativo del eje $y$ ).
Concluyo el cuadrante. Como $v_{x} < 0$ y $v_{y} < 0$ , el vector velocidad se encuentra en el cuadrante III. (Nota: si el carrito estuviera exactamente en el punto más bajo de la curva, $\vec{v}$ sería puramente horizontal hacia la izquierda, $\vec{v} = -v\,\hat{i}$ , y quedaría sobre el eje negativo del $x$ , que limita los cuadrantes II y III; en r2, ligeramente antes de completar el giro, cae dentro del cuadrante III.)
Dibujo solicitado. Trazo los ejes $x$ e $y$ con el origen en el cambio de dirección; marco la posición r2 abajo a la derecha del origen (cuadrante IV de posiciones) y dibujo desde ese punto un vector $\vec{v}_{r2}$ tangente a la curva, apuntando hacia abajo y a la izquierda, dentro del cuadrante III de vectores, es decir, hacia el origen desde r2 en dirección $(-,-)$ .

Complemento (suele pedirse en esta actividad): la aceleración en r2 es centrípeta, dirigida hacia el centro de la curva (hacia arriba y a la la izquierda, $a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}$ ), por lo que apunta al cuadrante II; no confundir aceleración y velocidad, que en movimientos curvilíneos no son paralelas.

Respuesta

La velocidad del juguete en r2 se encuentra en el cuadrante III, porque sus componentes son negativas ( $v_{x}<0$ y $v_{y}<0$ ): el carrito se mueve hacia la izquierda y ligeramente hacia abajo, tangente a la trayectoria.

Contenido de la página

3. Tomo en cuenta la posición del carrito en la siguiente figura y realizo las actividades descritas más adelante:

[Figura: pista con rampa y curva en U. Origen de los ejes en el punto "Estado Cambio de dirección". Leyenda: línea azul = velocidad, línea verde = aceleración. Se marcan las posiciones r1 (parte alta derecha de la curva) y r2 (parte baja de la curva), y una flecha azul V que apunta hacia abajo en el lado derecho de la curva.]

a) Indico en qué cuadrante se encuentra la velocidad del juguete cuando está en r2. Justifico mi respuesta y la dibujo.

(Espacio de respuesta para justificación y espacio para el dibujo.)

Ejemplos resueltos

Un carrito en una curva tiene componentes de velocidad $v_x = -2\,\text{m/s}$ y $v_y = -0{,}5\,\text{m/s}$ . ¿En qué cuadrante está su vector velocidad?

$v_x = -2 < 0$ (hacia la izquierda).
$v_y = -0{,}5 < 0$ (hacia abajo).
Ambos negativos $\Rightarrow$ cuadrante III. Respuesta: cuadrante III.

Tabla

Cuadrante	Signo de $v_x$	Signo de $v_y$	Situación en la figura
I	+	+	Derecha y arriba
II	−	+	Izquierda y arriba (aceleración centrípeta en r2)
III	−	−	Velocidad en r2
IV	+	−	Derecha y abajo (velocidad en r1, dominante $v_y<0$ )

Diagrama

flowchart TB
  Q1["Cuadrante I: x>0, y>0"] --- Q2["Cuadrante II: x<0, y>0 (aceleración centrípeta)"]
  Q4["Cuadrante IV: x>0, y<0"] --- Q3["Cuadrante III: x<0, y<0 → VELOCIDAD en r2"]
  Q2 --- Q3
  Q1 --- Q4

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{v}$ $\text{ es tangente a la trayectoria y apunta en el sentido del movimiento}$

$\text{Cuadrante III}$ $\iff$ $v_x$ < 0 \ $\text{y}$ \ $v_y$ < 0

$\vec{v}$ = $v_x\$ , $\hat{i}$ + $v_y\$ , $\hat{j}$

$\frac{dx}{dt}$ = $v_x$ < 0,\ $\frac{dy}{dt}$ = $v_y$ < 0

$a_c$ = $\frac{v^{2}}{r}$

Glosario (4)

Cuadrante: Cada una de las cuatro regiones en que los ejes cartesianos dividen el plano; se identifican por el signo de sus coordenadas.
Vector velocidad: Vector tangente a la trayectoria que indica la dirección y el sentido del movimiento del cuerpo.
Tangente a la trayectoria: Recta que toca la curva en un punto y tiene la misma dirección que el movimiento en ese instante.
Aceleración centrípeta: Componente de la aceleración dirigida hacia el centro de la curva, responsable del cambio de dirección; a_c = v^2/r.

Preguntas para practicar

¿Justifica por qué la velocidad en r2 no puede estar en el cuadrante IV?

Porque en el cuadrante IV la componente horizontal sería positiva (hacia la derecha); sin embargo, al llegar a r2 el carrito ya completó casi toda la curva en U y se dirige hacia la izquierda, por lo que v_x < 0 y, además, sigue descendiendo, de modo que v_y < 0: estamos en el cuadrante III.

¿Hacia dónde apunta la aceleración del carrito en r2 y en qué cuadrante queda?

La aceleración es centrípeta, apunta hacia el centro de la curva (hacia arriba y a la izquierda desde r2), por lo que tiene v_x... componente aceleración: a_x < 0 y a_y > 0, quedando en el cuadrante II; su magnitud es a_c = v^2/r.

Temas y conceptos clave

Velocidad en movimientos curvilíneosCuadrantes del plano cartesianoVectores y componentesVector velocidadTangente a la trayectoriaCuadrante IIIComponentes cartesianasAceleración centrípeta