Observo la figura y, a partir de la definición de velocidad y aceleración, elaboro una gráfica similar, con una variación de velocidad (aceleración media) en el segundo y cuarto cuadrante.

II cuadrante: v=(-2,2) m/s; IV cuadrante: v=(2,-2) m/s

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cuadrantes del vector desplazamiento y gráfica de la variación de velocidad

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Respuesta rápida

b) El cuadrante depende de los signos de Δx y Δy (ej.: Δx>0, Δy<0 → IV cuadrante). 4.a: v⃗₁=(3,1), v⃗₂=(1,3) → Δv⃗=(−2,2), II cuadrante. 4.b: v⃗₁=(1,3), v⃗₂=(3,1) → Δv⃗=(2,−2), IV cuadrante.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 26

Fisica 1° · 2024

Ejercicio b

Enunciado: Indicar en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento, justificar la respuesta y dibujarlo.

El vector desplazamiento se define como la diferencia entre el vector posición final y el inicial:

$\vec{\Delta r}=\vec{r}_{2}-\vec{r}_{1}=(x_{2}-x_{1})\,\hat{i}+(y_{2}-y_{1})\,\hat{j}$

Calculo las componentes: $\Delta x=x_{2}-x_{1}$ y $\Delta y=y_{2}-y_{1}$ .
Determino el signo de cada componente:
- $\Delta x>0$ , $\Delta y>0$ → I cuadrante.
- $\Delta x<0$ , $\Delta y>0$ → II cuadrante.
- $\Delta x<0$ , $\Delta y<0$ → III cuadrante.
- $\Delta x>0$ , $\Delta y<0$ → IV cuadrante.
Justificación: el cuadrante lo decide el signo de las componentes, no el módulo. Si el cuerpo avanzó hacia la derecha ( $\Delta x>0$ ) y descendió ( $\Delta y<0$ ), el vector cae en el IV cuadrante (ejemplo: $x_{1}=2\,\text{m},\ y_{1}=5\,\text{m}$ ; $x_{2}=6\,\text{m},\ y_{2}=3\,\text{m}$ → $\Delta x=+4\,\text{m}$ , $\Delta y=-2\,\text{m}$ ).
Dibujo: en el sistema $xy$ parto del punto $P_{1}(x_{1},y_{1})$ y trazo una flecha hasta $P_{2}(x_{2},y_{2})$ ; la punta de la flecha indica el sentido del desplazamiento.

Respuesta

El cuadrante viene dado por los signos de $\Delta x$ y $\Delta y$ ; con $\Delta x>0$ y $\Delta y<0$ el vector desplazamiento se ubica en el cuarto cuadrante.

Ejercicio 4

Enunciado: Observar la figura y, a partir de la definición de velocidad y aceleración, elaborar una gráfica similar, eligiendo posiciones y velocidades de modo que la variación de velocidad (aceleración media) resultante quede en el segundo y en el cuarto cuadrante.

Definiciones que gobiernan la gráfica:

$\vec{v}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t},\qquad \vec{a}_{media}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\frac{\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}}{\Delta t}$

Como $\Delta t>0$ , el vector $\vec{a}_{media}$ tiene el mismo sentido que $\Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}$ : si $\Delta \vec{v}$ va al II cuadrante, la aceleración media también va al II cuadrante. 2. Regla de construcción gráfica: coloco las colas de $\vec{v}_{1}$ y $\vec{v}_{2}$ en el mismo origen; el vector $\Delta$ \vec{v}=$ $\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}@@MATH_1@@\vec{v}@@MATH_2@@ hasta la punta de @@MATH_3@@_{2}$ **$.

Parte 4.a

Variación de velocidad en el II cuadrante ($\Delta v_{x}<0$, $\Delta v_{y}>0$)

Elijo, en $\text{m/s}$ : $\vec{v}_{1}=(3,\,1)$ y $\vec{v}_{2}=(1,\,3)$ .
Sustituyo: $\Delta \vec{v}=(1-3)\,\hat{i}+(3-1)\,\hat{j}=(-2)\,\hat{i}+(2)\,\hat{j}$ .
Con $\Delta t=2\,\text{s}$ : $\vec{a}_{media}=\dfrac{(-2,\,2)}{2}=(-1,\,1)\,\text{m/s}^{2}$ , es decir, $a_{x}=-1<0$ y $a_{y}=+1>0$ → II cuadrante.
Posiciones coherentes para dibujar el movimiento: $P_{1}(1,1)$ y $P_{2}(3,2)$ en metros, con la trayectoria curva entre ambas, igual que en la figura del libro.

Parte 4.b

Variación de velocidad en el IV cuadrante ($\Delta v_{x}>0$, $\Delta v_{y}<0$)

Elijo, en $\text{m/s}$ : $\vec{v}_{1}=(1,\,3)$ y $\vec{v}_{2}=(3,\,1)$ .
Sustituyo: $\Delta \vec{v}=(3-1)\,\hat{i}+(1-3)\,\hat{j}=(2)\,\hat{i}+(-2)\,\hat{j}$ .
Con $\Delta t=2\,\text{s}$ : $\vec{a}_{media}=\dfrac{(2,\,-2)}{2}=(1,\,-1)\,\text{m/s}^{2}$ , es decir, $a_{x}=+1>0$ y $a_{y}=-1<0$ → IV cuadrante.
Dibujo (esquema):

   y                y
   ^   v2 ^          ^   v1 ^
   |   /  |          |   /  |
   |  /   |          |  /   |
   | / v1 |          | / v2 |
   +------> x        +------> x
   Deltav apunta      Deltav apunta
   al II cuadrante    al IV cuadrante
   (v1 y v2 con colas unidas; Deltav une las puntas)

Respuesta

Con $\vec{v}_{1}=(3,1)$ y $\vec{v}_{2}=(1,3)$ se obtiene $\Delta \vec{v}=(-2,2)$ (II cuadrante); con $\vec{v}_{1}=(1,3)$ y $\vec{v}_{2}=(3,1)$ se obtiene $\Delta \vec{v}=(2,-2)$ (IV cuadrante).

Contenido de la página

b) Indico en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo.

4. Observo la figura y, a partir de la definición de la velocidad y la aceleración, elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidad que permita tener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el segundo y cuarto cuadrante.

$\vec{\Delta V}=\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}$

Figura: dos autos sobre una trayectoria curva, con vectores posición $\vec{r_{1}},\vec{r_{2}}$ desde el origen hasta los puntos $P_{1}$ y $P_{2}$ , y vectores velocidad $\vec{V_{1}}$ (arriba a la derecha) y $\vec{V_{2}}$ (abajo a la derecha). A la derecha se muestra el triángulo vectorial: $\vec{V_{1}}$ y $\vec{V_{2}}$ con colas unidas y $\vec{\Delta V}=\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}$ uniendo las puntas.

Pie de figura: "vector variación de velocidad $\vec{\Delta V}=\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}$ ". Fuente: https://lh9.clb4pme

Ejemplos resueltos

Elegir velocidades para que Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁ quede en el II cuadrante.

v⃗₁=(3,1) m/s, v⃗₂=(1,3) m/s → Δv⃗=(1−3, 3−1)=(−2, +2) m/s: componente x negativa y y positiva → II cuadrante. Con Δt=2 s, a⃗ media=(−1, +1) m/s².

Elegir velocidades para que Δv⃗ quede en el IV cuadrante.

v⃗₁=(1,3) m/s, v⃗₂=(3,1) m/s → Δv⃗=(+2, −2) m/s: componente x positiva y y negativa → IV cuadrante. Con Δt=2 s, a⃗ media=(+1, −1) m/s².

Tablas (2)

Cuadrante	Signo de $\Delta x$	Signo de $\Delta y$	Ejemplo de $\Delta \vec{r}$ (m)
I	+	+	$(3,\,4)$
II	−	+	$(-2,\,5)$
III	−	−	$(-4,\,-3)$
IV	+	−	$(4,\,-2)$

Caso	$\vec{v}_{1}$ (m/s)	$\vec{v}_{2}$ (m/s)	$\Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}$ (m/s)	Cuadrante	$\vec{a}_{media}$ con $\Delta t=2\,\text{s}$
A	$(3,\,1)$	$(1,\,3)$	$(-2,\,2)$	II	$(-1,\,1)\,\text{m/s}^{2}$
B	$(1,\,3)$	$(3,\,1)$	$(2,\,-2)$	IV	$(1,\,-1)\,\text{m/s}^{2}$

Diagrama

graph LR
  A[Colas de v1 y v2 unidas en el origen] --> B[v1=(3,1) y v2=(1,3)]
  B --> C[Deltav = v2 - v1 = (-2,+2)]
  C --> D[II cuadrante: ax<0, ay>0]
  A --> E[v1=(1,3) y v2=(3,1)]
  E --> F[Deltav = v2 - v1 = (+2,-2)]
  F --> G[IV cuadrante: ax>0, ay<0]

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{\Delta V}$ = $\vec{V_{2}}$ - $\vec{V_{1}}$

$\vec{a}@@MATH_0@@\dfrac{\vec{V_{2}}-\vec{V_{1}}}{\Delta t}$

$\vec{\Delta r}$ = $\vec{r}@@MATH_0@@\vec{r}@@MATH_1@@\hat{i}@@MATH_2@@\hat{j}$

$\vec{v}$ = $\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$

$\vec{a}@@MATH_0@@\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ = $\frac{\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}}{\Delta t}$

$\vec{\Delta V}$ = $\vec{V_{2}}$ - $\vec{V_{1}}$

Glosario (4)

Vector desplazamiento: Vector que va desde la posición inicial a la final: Δr⃗ = r⃗₂ − r⃗₁; sus componentes indican el cuadrante.
Variación de velocidad: Diferencia entre la velocidad final y la inicial: Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁.
Aceleración media: Relación entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo: a⃗ = Δv⃗/Δt; tiene el mismo sentido que Δv⃗.
Cuadrante: Región del plano delimitada por los ejes: I (+,+), II (−,+), III (−,−), IV (+,−).

Preguntas para practicar

b) ¿En qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento y por qué?

El cuadrante lo determinan los signos de Δx = x₂ − x₁ y Δy = y₂ − y₁: si Δx > 0 y Δy < 0 el vector queda en el cuarto cuadrante, porque el punto final está a la derecha y por debajo del inicial. Se justifica escribiendo las componentes y se dibuja una flecha desde P₁ hasta P₂.

4) ¿Por qué la aceleración media tiene el mismo sentido que la variación de velocidad?

Porque a⃗ media = Δv⃗/Δt y Δt es un número positivo; multiplicar un vector por un escalar positivo no cambia su sentido, solo su magnitud, de modo que a⃗ media y Δv⃗ apuntan siempre al mismo cuadrante.

Temas y conceptos clave

Vector desplazamientoCuadrantes del plano cartesianoVariación de velocidadAceleración mediaΔr⃗ = r⃗₂ − r⃗₁Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁a⃗ media = Δv⃗/Δtsignos de componentes y cuadrantesdiferencia de vectores colineales en el origen

Fuentes y referencias

https://lh9.clb4pme

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Figuras de la página (2)

Dos recuadros de trabajo: el izquierdo con renglones punteados para la justificación escrita y el derecho en blanco para el dibujo del vector desplazamiento. — Figura 1 image

Triángulo vectorial con v⃗₁ y v⃗₂ de colas unidas y Δv⃗ = v⃗₂ − v⃗₁ como flecha que une sus puntas. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo sé en qué cuadrante está un vector desplazamiento?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué relación hay entre la variación de velocidad y la aceleración media?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se grafica la diferencia de dos vectores velocidad?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Vector posición en el plano cartesiano
• Operaciones con componentes de vectores
• Definición de velocidad media
• Signos de las componentes y cuadrantes

Siguiente tema sugerido

Aceleración media y aceleración instantánea en movimiento curvilíneo

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b) Indico en qué cuadrante se encuentra lel vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo.

K J) K y

Observo la figura y partir de la definición de la velocidad y la aceleración elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidad que permita tener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el segundo y cuarto

cuadrante.

y Vi 1 p2 vi Vi