Posición final y desplazamiento en coordenadas rectangulares y geográficas

Enunciado: Determino la posición final y el desplazamiento para cada uno de los intervalos respecto al origen de coordenadas que se encuentra 2 kilómetros a la izquierda de la posición de inicio de movimiento.

El punto de partida del móvil (punto I) no es el origen. El origen O está 2 km a la izquierda de I. Si elegimos el eje x positivo hacia la derecha (dirección del eje de la avenida, por ejemplo):

• Coordenadas del origen: O = (0, 0).
• Como I está 2 km a la derecha de O: x_I = +2 \, \text{km}, de modo que I = (2, 0) \, \text{km}.

Convenio de signos: derecha = +x; arriba = +y; izquierda = -x; abajo = -y.

(i) Posición final (coordenadas rectangulares). Para cada intervalo n, la posición final \vec{r}_f se obtiene sumando al origen los desplazamientos acumulados desde t = 0:

\vec{r}_f = (x_f, y_f) = (x_I + \Delta x_{acum}, \; y_I + \Delta y_{acum})

Se escribe como el par ordenado (x_f, y_f) con su unidad (km).

(ii) Posición final (coordenadas geográficas). Se traduce el par ordenado a la descripción geográfica del mapa: punto cardinal y distancia respecto al origen, o los valores de latitud/longitud que indique la figura (rejilla del mapa). Por ejemplo, (x_f, y_f) = (5, 3) \, \text{km} corresponde a "5 km al Este y 3 km al Norte del origen".

(iii) Desplazamiento (coordenadas rectangulares). El desplazamiento es un vector solo depende del intervalo, no del origen elegido:

\Delta \vec{r} = \vec{r}_f - \vec{r}_i = (x_f - x_i, \; y_f - y_i)

donde \vec{r}_i es la posición al comienzo de ese intervalo. Su módulo: |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} y su dirección: \theta = \arctan\!\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right).

(iv) Desplazamiento (coordenadas geográficas). Se expresa igual que en (ii): magnitud + dirección (NE, SO, etc.). Si el intervalo es puramente horizontal, el desplazamiento geográfico coincide en valor con la posición final respecto al origen, pero la posición final sí depende del origen elegido y el desplazamiento no.

1. Identificar, en la figura de la página anterior, el punto final P_n del intervalo n y el punto inicial I_n del mismo intervalo.
2. Medir/leer las coordenadas de P_n respecto al origen O (que está 2 km a la izquierda de I) → columna 2.
3. Convertir ese par ordenado a la descripción geográfica del mapa → columna 3.
4. Calcular \Delta \vec{r} = \vec{r}_{f,n} - \vec{r}_{i,n} → columna 4. Nótese que \vec{r}_{i,1} = (2,0) km, porque el primer intervalo empieza en el punto de inicio.
5. Expresar ese vector \Delta\vec{r} con punto cardinal y módulo → columna 5.

Si un intervalo terminara en el punto (6, 4) \, \text{km} respecto al origen y empezara en (2, 0) km:

• Posición final rect.: (6, 4) \, \text{km}.
• Posición final geogr.: 6 km al Este y 4 km al Norte del origen.
• Desplazamiento rect.: \Delta \vec{r} = (6-2, \, 4-0) = (4, 4) \, \text{km}.
• Módulo: |\Delta \vec{r}| = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} \approx 5,66 \, \text{km}; dirección: \theta = \arctan(4/4) = 45^\circ, es decir NE.
• Desplazamiento geogr.: 5,66 \, \text{km} en dirección NE (45° respecto al Este).

Tabla a completar