Con el vuelo Lincoln → Clarinda (147 km, 85^), Clarinda → St. Joseph (106 km, 167^) y St. Joseph → Manhattan (166 km, 235^), calcula la distancia total recorrida y el desplazamiento final (magnitud y dirección), tomando el origen en Lincoln.

d_total = 419 km; s ≈ 188,8 km a 170^

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Desplazamiento y distancia total en un vuelo de entrenamiento

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Distancia total: 419 km. Desplazamiento: 188,8 km en dirección 170° (casi Sur, ligeramente Este). Componentes: X = 34,3 km (Este), Y = -185,7 km (Sur).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 30

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 4

c

Calculo el desplazamiento final y la distancia total recorrida, tomando como origen de coordenadas el inicio del movimiento.

Nota: los datos numéricos de este ítem (tramos, longitudes y ángulos del problema anterior) están en la página previa, que no forma parte de esta imagen. Por eso aquí se deja el procedimiento general y se resuelve íntegramente el ejercicio 5, que sí trae sus datos completos.

Procedimiento general:

El origen de coordenadas es el punto de partida: $(x_0, y_0) = (0, 0)$ .
Descompongo cada tramo en componentes: $\Delta x = d\sin\theta$ y $\Delta y = d\cos\theta$ , con $\theta$ medido desde el Norte (0° Norte, 90° Este, 180° Sur, 270° Oeste).
Sumo componentes: $X = \sum \Delta x$ , $Y = \sum \Delta y$ .
El desplazamiento final es $\vec{s} = (X, Y)$ , con magnitud $s = \sqrt{X^{2} + Y^{2}}$ y dirección $\theta = \operatorname{atan2}(X, Y)$ .
La distancia total recorrida es simplemente la suma de longitudes: $d_{total} = \sum d_i$ (no depende de las direcciones).

Respuesta

$s = \sqrt{X^{2}+Y^{2}}$ y $d_{total} = \sum d_i$ ; los valores concretos requieren los datos de la página anterior.

Ejercicio 5

Una piloto vuela de Lincoln (Nebraska) a Clarinda (Iowa), luego a St. Joseph (Missouri) y después a Manhattan (Kansas): $147 \, \text{km}$ a $85^{\circ}$ , $106 \, \text{km}$ a $167^{\circ}$ y $166 \, \text{km}$ a $235^{\circ}$ (ángulos medidos desde el Norte, sentido horario).

Parte 5.a

Distancia total recorrida

Sumo las longitudes de los tres tramos: $d_{total} = 147 + 106 + 166 = 419 \, \text{km}$

Respuesta

$d_{total} = 419 \, \text{km}$ .

Parte 5.b

Desplazamiento final (componentes)

Tramo 1, Lincoln → Clarinda ( $d_1 = 147 \, \text{km}$ , $\theta_1 = 85^{\circ}$ ): $\Delta x_1 = 147\sin 85^{\circ} = 147(0{,}9962) = 146{,}44 \, \text{km}$ $\Delta y_1 = 147\cos 85^{\circ} = 147(0{,}0872) = 12{,}81 \, \text{km}$
Tramo 2, Clarinda → St. Joseph ( $d_2 = 106 \, \text{km}$ , $\theta_2 = 167^{\circ}$ ): $\Delta x_2 = 106\sin 167^{\circ} = 106(0{,}2250) = 23{,}84 \, \text{km}$ $\Delta y_2 = 106\cos 167^{\circ} = 106(-0{,}9744) = -103{,}28 \, \text{km}$
Tramo 3, St. Joseph → Manhattan ( $d_3 = 166 \, \text{km}$ , $\theta_3 = 235^{\circ}$ ): $\Delta x_3 = 166\sin 235^{\circ} = 166(-0{,}8192) = -135{,}98 \, \text{km}$ $\Delta y_3 = 166\cos 235^{\circ} = 166(-0{,}5736) = -95{,}21 \, \text{km}$
Sumo las componentes: $X = 146{,}44 + 23{,}84 - 135{,}98 = 34{,}30 \, \text{km} \quad (\text{Este})$ $Y = 12{,}81 - 103{,}28 - 95{,}21 = -185{,}68 \, \text{km} \quad (\text{Sur})$
Magnitud del desplazamiento: $s = \sqrt{X^{2} + Y^{2}} = \sqrt{(34{,}30)^{2} + (-185{,}68)^{2}} = \sqrt{1176{,}5 + 34477{,}1} = \sqrt{35653{,}6} \approx 188{,}8 \, \text{km}$
Dirección (ángulo medido desde el Norte, sentido horario): $\theta = 180^{\circ} - \arctan\!\left(\frac{34{,}30}{185{,}68}\right) = 180^{\circ} - 10{,}5^{\circ} = 169{,}5^{\circ} \approx 170^{\circ}$

Respuesta

desplazamiento $\vec{s} \approx 188{,}8 \, \text{km}$ en la dirección $\theta \approx 170^{\circ}$ (casi Sur, ligeramente al Este); componente Este $X = 34{,}3 \, \text{km}$ , componente Sur $|Y| = 185{,}7 \, \text{km}$ .

Parte 5.c

Comparación

La distancia ( $419 \, \text{km}$ ) es mayor que el desplazamiento ( $188{,}8 \, \text{km}$ ) porque el recorrido no es en línea recta: los tramos cambian de dirección.
La distancia total es un escalar (suma de longitudes); el desplazamiento es un vector (diferencia entre posición final y inicial).

Cuadro de la página (desplazamiento y distancia total): desplazamiento $= 188{,}8 \, \text{km}$ a $170^{\circ}$ ; distancia total recorrida $= 419 \, \text{km}$ .

Respuesta

$d_{total} = 419 \, \text{km} > s = 188{,}8 \, \text{km}$ .

Contenido de la página

c) Calculo el desplazamiento final y la distancia total recorrida tomando en cuenta como posición de origen de coordenadas el inicio del movimiento.

DESPLAZAMIENTO
DISTANCIA TOTAL RECORRIDA

5. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un vuelo de entrenamiento, una piloto vuela de Lincoln (Nebraska) a Clarinda (Iowa); luego, a St. Joseph (Missouri) y después a Manhattan (Kansas). Las direcciones se muestran relativos al Norte: 0° es Norte, 90° es Este, 180° es Sur y 270° es Oeste.

Mapa con los tramos:

Lincoln → Clarinda: $147 \, \text{km}$ a $85^{\circ}$
Clarinda → St. Joseph: $106 \, \text{km}$ a $167^{\circ}$
St. Joseph → Manhattan: $166 \, \text{km}$ a $235^{\circ}$

Fuente: https://in9.clymhxq

Texto de Física (página 29)

Ejemplos resueltos

Un vehículo se mueve 100 km a 90° (Este). ¿Cuáles son sus componentes y su desplazamiento?

$\Delta x = 100\sin 90^{\circ} = 100(1) = 100 \, \text{km}$ .
$\Delta y = 100\cos 90^{\circ} = 100(0) = 0 \, \text{km}$ .
$s = \sqrt{100^{2}+0^{2}} = 100 \, \text{km}$ en dirección $90^{\circ}$ . Respuesta: $\vec{s} = (100, 0)$ km, magnitud 100 km al Este.

Tabla

Tramo	Distancia (km)	Ángulo	Δx (km)	Δy (km)
Lincoln → Clarinda	147	85°	146,44	12,81
Clarinda → St. Joseph	106	167°	23,84	−103,28
St. Joseph → Manhattan	166	235°	−135,98	−95,21
Total	419	—	34,30	−185,68

Diagrama

flowchart LR
  A[Lincoln NE<br/>origen 0,0] -->|147 km 85°| B[Clarinda IA<br/>146,4 ; 12,8]
  B -->|106 km 167°| C[St. Joseph MO<br/>170,3 ; -90,5]
  C -->|166 km 235°| D[Manhattan KS<br/>34,3 ; -185,7]
  A -.->|desplazamiento 188,8 km 170°| D

Fórmulas y ecuaciones

s = $\sqrt{X^{2}+Y^{2}}$

$d_{total}$ = $\sum$ $d_i$

$\Delta$ x = $d\sin\theta,\$ ; $\Delta$ y = $d\cos\theta$

$\Delta$ x = $d\sin\theta$

$\Delta$ y = $d\cos\theta$

s = $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$

$d_{total}$ = $\sum_{i}$ $d_i$

$\theta$ = $180^{\circ}$ - $\arctan\left(@@MATH_0@@\right)$

Glosario (4)

Desplazamiento: Vector que va desde la posición inicial hasta la final; depende solo de esos dos puntos, no del camino seguido.
Distancia total recorrida: Suma de las longitudes de todos los tramos del movimiento; es un escalar siempre mayor o igual que el desplazamiento.
Rumbo o ángulo de dirección: Ángulo medido desde el Norte en sentido horario: 0° Norte, 90° Este, 180° Sur, 270° Oeste.
Componente de un vector: Proyección del vector sobre los ejes: $\Delta x = d\sin\theta$ (Este-Oeste) y $\Delta y = d\cos\theta$ (Norte-Sur).

Preguntas para practicar

¿Por qué la distancia total recorrida es mayor que el desplazamiento en este vuelo?

Porque la piloto cambia de dirección en cada tramo, de modo que los vectores no se suman en línea recta. La distancia total suma las longitudes (419 km), mientras que el desplazamiento solo une el punto de partida con el de llegada (188,8 km); solo serían iguales si todo el vuelo fuera recto y sin retornos.

Si el vuelo terminara en el mismo punto donde comenzó, ¿cuánto valdría el desplazamiento y cuánto la distancia?

El desplazamiento sería cero, porque la posición final coincide con la inicial; la distancia total seguiría siendo la suma de los tramos recorridos, ya que es un escalar independiente del punto de llegada.

Temas y conceptos clave

Desplazamiento finalDistancia total recorridaVectores y componentesDirecciones angulares relativas al Nortedesplazamiento (vector)distancia recorrida (escalar)componentes x e yángulo de rumbo desde el Nortemagnitud de un vector

Fuentes y referencias

https://in9.clymhxq

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Figuras de la página (1)

Cuadro de dos filas para registrar el DESPLAZAMIENTO y la DISTANCIA TOTAL RECORRIDA del ítem c), con celdas en blanco para completar. — Figura 1 image

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📌 Antes de leer esto

• Trigonometría básica: seno, coseno y tangente
• Teorema de Pitágoras
• Ángulos de referencia y cuadrantes
• Signo de las componentes según la dirección

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Velocidad y velocidad media en el plano (vector velocidad a partir del desplazamiento y el tiempo)

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c) Calculo el desplazamiento final y la distancia total recorridatomando en cuenta como posición de origen de coordenadas el inicio del movimiento..

DESPLAZAMIENTO

DISTANCIA TOTAL RECORRIDA

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un vuelo de entrenamiento, una piloto vuela de Lincoln (Nebraska) a Clarinda (lowa); luego, a

St. Joseph (Missouri) y después a Manhattan (Kansas). Las direcciones se muestran relativas al Norte: 0° es Norte, 90° es Este, 180° es Sur y 270° es Oeste.

IOWA

Lincoln Clarinda

NEBRASKA

St. Joseph

Manhattan < 166 km N 235° ob E Ss

KANSAS MISSOURI

Fuente: https://n9.cl/ymhxq

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