Ecuación vectorial de posición de un tiro libre de fútbol (Messi)

a) Determinar la ecuación del movimiento del balón para cualquier tiempo en un disparo de tiro libre, es decir, la ecuación vectorial posición para Leonel Messi.

Datos del cuadro:

• Ecuación general: \overrightarrow{r_f} = \overrightarrow{r_o} + (\overrightarrow{v_o} \cdot t) + \frac{1}{2}\overrightarrow{g} \cdot t^{2}
• Ángulo de disparo: \alpha = 13^{\circ}
• Velocidad de lanzamiento de Messi: v_o = 95 \, \text{km/h}
• Origen en el punto de lanzamiento: \overrightarrow{r_o} = 0\,\hat{i} + 0\,\hat{j}
• Gravedad: g = 9.8 \, \text{m/s}^{2}, dirigida hacia abajo: \overrightarrow{g} = 0\,\hat{i} - 9.8\,\hat{j}

Paso 1. Convertir la velocidad al Sistema Internacional

1. 1 \, \text{km/h} = \frac{1}{3.6} \, \text{m/s}, por tanto:
2. v_o = 95 \times \frac{1}{3.6} = 26.39 \, \text{m/s}.

Paso 2. Descomponer la velocidad inicial en sus componentes

1. Componente horizontal: v_{ox} = v_o \cos \alpha = 26.39 \times \cos 13^{\circ} = 26.39 \times 0.9744 = 25.71 \, \text{m/s}.
2. Componente vertical: v_{oy} = v_o \sin \alpha = 26.39 \times \sin 13^{\circ} = 26.39 \times 0.2250 = 5.94 \, \text{m/s}.
3. Vector velocidad inicial: \overrightarrow{v_o} = 25.71\,\hat{i} + 5.94\,\hat{j} \; (\text{m/s}).

Paso 3. Sustituir en la ecuación vectorial de posición

1. \overrightarrow{r_f} = (0\,\hat{i} + 0\,\hat{j}) + (25.71\,\hat{i} + 5.94\,\hat{j})\,t + \frac{1}{2}(0\,\hat{i} - 9.8\,\hat{j})\,t^{2}.
2. Agrupando términos por componente:
   • eje x: x(t) = 25.71\,t
   • eje y: y(t) = 5.94\,t - 4.90\,t^{2}
3. \frac{1}{2} \times 9.8 = 4.90, de ahí el coeficiente de t^{2} en \hat{j}.

Paso 4. Ecuación vectorial pedida

\overrightarrow{r_f}(t) = (25.71\,t)\,\hat{i} + \left(5.94\,t - 4.90\,t^{2}\right)\,\hat{j}

Verificación (coherencia del movimiento parabólico):

1. Tiempo hasta la altura máxima: t_{max} = \frac{v_{oy}}{g} = \frac{5.94}{9.8} = 0.606 \, \text{s}.
2. Altura máxima: y_{max} = 5.94(0.606) - 4.90(0.606)^{2} = 1.80 \, \text{m}.
3. Alcance (sin muro): x_{max} = \frac{2 v_{ox} v_{oy}}{g} = \frac{2(25.71)(5.94)}{9.8} = 31.2 \, \text{m}, valor razonable para un tiro de esta velocidad.