Método de componentes y vectores velocidad/aceleración de un avión

Uso el método de componentes para calcular la distancia que debe volar para regresar a Lincoln desde Manhattan.

El método de componentes se aplica así (los datos numéricos de posición/distancia de cada ciudad están en la página anterior, pág. 30):

1. Elige el sistema de ejes: x hacia el Este y y hacia el Norte.
2. Descompongo el vector desplazamiento →_{\text{Lincoln}\to\text{Manhattan}} en sus componentes: \vec{d}_{LM}=d_x\,\hat{i}+d_y\,\hat{j} donde d_x=d\cos\theta y d_y=d\sin\theta, con d la distancia directa y \theta el ángulo medido desde el eje x.
3. Para regresar a Lincoln el desplazamiento es exactamente el vector opuesto: \vec{d}_{ML}=-\vec{d}_{LM}=(-d_x)\,\hat{i}+(-d_y)\,\hat{j}
4. El módulo (la distancia recorrida) se obtiene con el teorema de Pitágoras: |\vec{d}_{ML}|=\sqrt{(-d_x)^2+(-d_y)^2}=\sqrt{d_x^{2}+d_y^{2}}
5. Verificación: la magnitud de →_{ML} debe ser igual a la de →_{LM}, porque el trayecto de vuelta recorre la misma recta en sentido contrario; solo cambian los signos de las componentes, no el módulo.

Ejemplo numérico ilustrativo: si d_x=120\,\text{km} y d_y=90\,\text{km}, entonces |\vec{d}_{ML}|=\sqrt{(120)^{2}+(90)^{2}}=\sqrt{14400+8100}=\sqrt{22500}=150\,\text{km}.

Represento el vector velocidad del avión en el trayecto de Lincoln a Clarinda, módulo constante de 150 km/h en la dirección y sentido del movimiento.

1. El movimiento es rectilíneo uniforme: la velocidad mantiene dirección, sentido y módulo constantes, por lo que →=\text{cte} y →=0.
2. El vector velocidad tiene el mismo sentido que el vector desplazamiento →_{LC} (de Lincoln a Clarinda). Si \theta es el ángulo de ese trayecto respecto al eje x: \vec{v}=v\cos\theta\,\hat{i}+v\sin\theta\,\hat{j},\qquad v=150\,\text{km/h}
3. Módulo verificado: |\vec{v}|=\sqrt{(150\cos\theta)^{2}+(150\sin\theta)^{2}}=150\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=150\,\text{km/h}.
4. Representación gráfica: una flecha de longitud proporcional a 150 km/h que parte de Lincoln apuntando hacia Clarinda (sentido del movimiento).

Calculo el vector velocidad final y la aceleración en el trayecto de Clarinda a St. Joseph, con aceleración constante de módulo 1 km/h² en la dirección y sentido de la velocidad.

1. Datos: v_0=150\,\text{km/h} (velocidad al pasar por Clarinda, heredada del tramo anterior), módulo de la aceleración a=1\,\text{km/h}^{2}, con → paralela a → (aceleración rectilínea uniforme).
2. Como →\parallel→, la aceleración solo cambia el módulo de la velocidad, no su dirección: \vec{a}=1\,\text{km/h}^{2}\,\hat{u} donde \hat{u} es el versor del trayecto Clarinda \rightarrow St. Joseph: \hat{u}=\cos\theta\,\hat{i}+\sin\theta\,\hat{j}.
3. Ecuación horaria de la velocidad: \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\vec{a}\,t=(150+1\cdot t)\,\hat{u}\;\text{km/h}
4. Velocidad final al llegar a St. Joseph, si el trayecto dura t horas: v_f=150+1\cdot t\;\text{km/h} Ejemplo: si el vuelo dura t=2\,\text{h}, entonces v_f=150+2=152\,\text{km/h}.
5. En componentes: \vec{v}_f=(150+t)\cos\theta\,\hat{i}+(150+t)\sin\theta\,\hat{j}.
6. Verificación: el módulo de → es constante (1\,\text{km/h}^{2}) y apunta en el mismo sentido que →, por lo que la velocidad aumenta linealmente con el tiempo.