Escribir la ecuación vectorial posición para Leonel Messi y para Cristiano Ronaldo, y establecer si es factible un tiro libre a 10^ que supere una barrera de 3 m de altura, justificando la respuesta.

r_M(t) = 19,09t i + (19,09t - 4,90t^2)j; r_R(t) = 28,99t i + (13,52t - 4,90t^2)j; no es factible (h ≈ 1,12–1,57 m < 3 m)

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ecuaciones vectoriales de posición y factibilidad de un tiro libre a 10°

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 1° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

34.a: Messi: $\vec{r}_M(t)=19{,}09t\,\hat{i}+(19{,}09t-4{,}90t^2)\hat{j}$ . Ronaldo: $\vec{r}_R(t)=28{,}99t\,\hat{i}+(13{,}52t-4{,}90t^2)\hat{j}$ . 34.b: No es factible: a $10^\circ$ la altura máxima es $1{,}12\;\text{m}$ o $1{,}57\;\text{m} < 3\;\text{m}$ ; harían falta $\approx 44{,}2\;\text{m/s}$ ( $159\;\text{km/h}$ ).

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Solución — Página 35

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 34

Actividad de continuidad: ecuación vectorial de posición para dos tiros libres y verificación de factibilidad.

Parte 34.a

1 — Ecuación vectorial posición para Leonel Messi

El modelo de movimiento del balón (sin rozamiento) es la caída libre en vertical y el movimiento rectilíneo uniforme en horizontal. El vector posición es

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0\,t - \frac{1}{2}g\,t^2\,\hat{j}$

Tomando $\vec{r}_0 = 0\,\hat{i} + 0\,\hat{j}$ (origen en el punto de pateo) y $\vec{v}_0 = v_{0x}\,\hat{i} + v_{0y}\,\hat{j}$ :

$\vec{r}(t) = (v_0\cos\theta)\,t\;\hat{i} + \left[(v_0\sin\theta)\,t - \frac{1}{2}g\,t^2\right]\hat{j}$

Con los datos típicos de la actividad, Messi patea con $v_{0M} \approx 27\;\text{m/s}$ ( $97\;\text{km/h}$ ) a un ángulo $\theta_M \approx 45^\circ$ :

$v_{0x} = 27\cos 45^\circ = 19,09\;\text{m/s}, \qquad v_{0y} = 27\sin 45^\circ = 19,09\;\text{m/s}$

Sustituyendo $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ :

Componente horizontal: $x(t) = 19{,}09\,t$ .
Componente vertical: $y(t) = 19{,}09\,t - 4{,}90\,t^2$ .
En forma vectorial:

$\boxed{\vec{r}_M(t) = 19{,}09\,t\;\hat{i} + \left(19{,}09\,t - 4{,}90\,t^2\right)\hat{j}}$

Respuesta

$\vec{r}_M(t) = (v_0\cos\theta_M)t\;\hat{i} + \left[(v_0\sin\theta_M)t - \tfrac{1}{2}gt^2\right]\hat{j}$ , con $v_0 = 27\;\text{m/s}$ y $\theta_M = 45^\circ$ .

Parte 34.a

2 — Ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo

Se aplica el mismo modelo; solo cambian $v_0$ y $\theta$ . Con $v_{0R} \approx 32\;\text{m/s}$ ( $115\;\text{km/h}$ ) a $\theta_R \approx 25^\circ$ :

Componente horizontal: $v_{0x} = 32\cos 25^\circ = 28{,}99\;\text{m/s}$ .
Componente vertical: $v_{0y} = 32\sin 25^\circ = 13{,}52\;\text{m/s}$ .
Ecuación vectorial:

$\boxed{\vec{r}_R(t) = 28{,}99\,t\;\hat{i} + \left(13{,}52\,t - 4{,}90\,t^2\right)\hat{j}}$

Respuesta

$\vec{r}_R(t) = 28{,}99\,t\;\hat{i} + \left(13{,}52\,t - 4{,}90\,t^2\right)\hat{j}$ (valores con $v_0 = 32\;\text{m/s}$ y $\theta = 25^\circ$ ).

Parte 34.b

— ¿Es factible un tiro libre a $10^\circ$ para superar una barrera de $3\;\text{m}$?

La altura máxima alcanzada por un proyectil que parte del suelo es

$h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

Valor de $\sin 10^\circ$ : $\sin 10^\circ = 0{,}1736$ .

Ejercicio 2

Con el tiro de Messi ($v_0 = 27\;\text{m/s}$):

$h_M = \frac{27^2\cdot(0{,}1736)^2}{2\cdot 9{,}8} = \frac{729\cdot 0{,}0302}{19{,}6} = \frac{22{,}0}{19{,}6} \approx 1{,}12\;\text{m}$

Ejercicio 3

Con el tiro de Ronaldo ($v_0 = 32\;\text{m/s}$):

$h_R = \frac{32^2\cdot(0{,}1736)^2}{19{,}6} = \frac{1024\cdot 0{,}0302}{19{,}6} = \frac{30{,}9}{19{,}6} \approx 1{,}57\;\text{m}$

Comparación con la barrera: en ambos casos $h < 3\;\text{m}$ , porque $1{,}12\;\text{m} < 3\;\text{m}$ y $1{,}57\;\text{m} < 3\;\text{m}$ .
Velocidad mínima necesaria para llegar a $3\;\text{m}$ a $10^\circ$ : despejando $v_0$ :

$v_0 = \frac{\sqrt{2gh}}{\sin\theta} = \frac{\sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 3}}{\sin 10^\circ} = \frac{\sqrt{58{,}8}}{0{,}1736} = \frac{7{,}67}{0{,}1736} \approx 44{,}2\;\text{m/s} \approx 159\;\text{km/h}$

Comprobación en la posición de la barrera (a $d = 9\;\text{m}$ de distancia, $t = d/(v_0\cos\theta) = 9/31{,}5 = 0{,}286\;\text{s}$ ):

$y = 32\sin 10^\circ\cdot 0{,}286 - 4{,}90\cdot(0{,}286)^2 = 1{,}60 - 0{,}40 \approx 1{,}2\;\text{m} < 3\;\text{m}$

Justificación: con un ángulo de lanzamiento de tan solo $10^\circ$ , la componente vertical de la velocidad es mínima ( $v_{0y} = v_0\sin 10^\circ \approx 5{,}57\;\text{m/s}$ para $v_0 = 32\;\text{m/s}$ ) y la gravedad reduce la altura a poco más de $1{,}5\;\text{m}$ . Superar $3\;\text{m}$ exigiría $v_0 \approx 159\;\text{km/h}$ , muy superior a cualquier tiro libre realista (Messi: $\approx 97\;\text{km/h}$ ; Ronaldo: $\approx 115\;\text{km/h}$ ).

Respuesta

No, no es factible. Con $10^\circ$ la altura máxima es $1{,}12\;\text{m}$ (Messi) o $1{,}57\;\text{m}$ (Ronaldo), ambas por debajo de los $3\;\text{m}$ de la barrera; se necesitarían $\approx 44{,}2\;\text{m/s}$ ( $159\;\text{km/h}$ ), algo irreal para un tiro libre.

Contenido de la página

Tiro libre como movimiento parabólico (pág. 34)

El balón pateado se modela como un projectil: movimiento uniforme horizontal y caída libre vertical.

Vector posición general

$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$

Con $\vec{r}_0 = 0$ y $\vec{a} = -g\hat{j}$ :

$\vec{r}(t) = v_0\cos\theta\;t\;\hat{i} + \left(v_0\sin\theta\;t - \frac{1}{2}g t^2\right)\hat{j}$

a) Ecuación vectorial de posición

• Leonel Messi ( $v_0 \approx 27\;\text{m/s}$ , $\theta \approx 45^\circ$ ):

$\vec{r}_M(t) = 19{,}09\,t\;\hat{i} + \left(19{,}09\,t - 4{,}90\,t^2\right)\hat{j}$

• Cristiano Ronaldo ( $v_0 \approx 32\;\text{m/s}$ , $\theta \approx 25^\circ$ ):

$\vec{r}_R(t) = 28{,}99\,t\;\hat{i} + \left(13{,}52\,t - 4{,}90\,t^2\right)\hat{j}$

b) Factibilidad de un tiro a $10^\circ$ contra una barrera de $3\;\text{m}$

Altura máxima: $h = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$ .

Messi: $h = \dfrac{27^2\cdot(0{,}1736)^2}{19{,}6} \approx 1{,}12\;\text{m} < 3\;\text{m}$ .
Ronaldo: $h = \dfrac{32^2\cdot(0{,}1736)^2}{19{,}6} \approx 1{,}57\;\text{m} < 3\;\text{m}$ .
Velocidad mínima para llegar a $3\;\text{m}$ : $v_0 = \dfrac{\sqrt{2gh}}{\sin\theta} \approx 44{,}2\;\text{m/s} = 159\;\text{km/h}$ .

Conclusión: el tiro a $10^\circ$ no es factible para superar la barrera.

Ejemplos resueltos

Escribir la ecuación vectorial de posición de un balón pateado con $v_0 = 32\;\text{m/s}$ a $\theta = 25^\circ$ .

$v_{0x} = 32\cos 25^\circ = 28{,}99\;\text{m/s}$ ; $v_{0y} = 32\sin 25^\circ = 13{,}52\;\text{m/s}$ .
$\vec{r}(t) = v_{0x}t\;\hat{i} + (v_{0y}t - \tfrac{1}{2}gt^2)\hat{j}$ .
$\vec{r}(t) = 28{,}99t\;\hat{i} + (13{,}52t - 4{,}90t^2)\hat{j}$ .

Calcular la altura máxima de ese tiro.

$h = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} = \dfrac{32^2\cdot(0{,}4226)^2}{19{,}6} = \dfrac{1024\cdot 0{,}1786}{19{,}6} \approx 9{,}3\;\text{m}$ .

Tabla

Jugador	v₀ (m/s)	v₀ (km/h)	θ	v₀ₓ (m/s)	v₀ᵧ (m/s)	h con θ=10° (m)	¿Supera 3 m?
Leonel Messi	27	97	45°	19,09	19,09	1,12	No
Cristiano Ronaldo	32	115	25°	28,99	13,52	1,57	No

Diagrama

flowchart TD
  A[Datos: v0 y ángulo θ] --> B[v0x = v0 cos θ\nv0y = v0 sen θ]
  B --> C[x(t) = v0x t\ny(t) = v0y t - ½ g t²]
  C --> D[Altura máxima h = v0² sen²θ / 2g]
  D --> E{h ≥ 3 m?}
  E -->|Sí| F[Tiro factible]
  E -->|No| G[Tiro no factible\n(falta velocidad o ángulo)]
  G --> H[Calcular v0 mínimo = √(2gh)/sen θ]

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{r}(t) = v_0\cos\theta\;t\;\hat{i} + \left(v_0\sin\theta\;t - \tfrac{1}{2}gt^2\right)\hat{j}$

$h_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

$\vec{r}$ (t) = $\vec{r}$ _0 + $\vec{v}@@MATH_0@@\vec{a}$ $\,t^2$

$\vec{r}$ (t) = $v_0\cos\theta\;t\$ ; $\hat{i}$ + $\left(v_0\sin\theta\;t$ - $\frac{1}{2}@@MATH_0@@\hat{j}$

$v_{0x}$ = $v_0\cos\theta,\qquad$ $v_{0y}$ = $v_0\sin\theta$

h = $\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$

$t_{@@MATH_0@@,\qquad$ R = $\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}$

$v_{0\min}$ = $\frac{\sqrt{2gh}}{\sin\theta}$

Glosario (5)

Movimiento parabólico: Movimiento de un proyectil en el que la trayectoria es una parábola, resultado de un movimiento uniforme en horizontal y uno uniformemente acelerado en vertical.
Ecuación vectorial de posición: Expresión $\vec{r}(t)$ que da la posición de un móvil en función del tiempo, incluyendo sus componentes en $\hat{i}$ y $\hat{j}$.
Ángulo de lanzamiento: Ángulo que forma la velocidad inicial $\vec{v}_0$ con la horizontal.
Altura máxima: Máximo valor de la componente vertical del desplazamiento, alcanzado cuando $v_y = 0$; se calcula con $h = v_0^2\sin^2\theta/(2g)$.
Tiro libre: Disparo al balón sin contacto de otros jugadores, en el que el proyectil se modela como ideal (sin rozamiento).

Preguntas para practicar

¿Por qué un ángulo de lanzamiento tan bajo como 10° dificulta superar una barrera?

Porque la altura máxima depende de $\sin^2\theta$: a $10^\circ$, $\sin 10^\circ = 0{,}1736$ es muy pequeño, de modo que solo una fracción mínima de la velocidad inicial se convierte en componente vertical ($v_{0y} = v_0\sin\theta \approx 5{,}6\;\text{m/s}$ con $32\;\text{m/s}$). La gravedad anula esa componente en poco tiempo y el balón apenas alcanza $1{,}6\;\text{m}$.

¿Qué implicaría, en términos físicos y deportivos, patear a 159 km/h a 10°?

Esa velocidad equivale a $44{,}2\;\text{m/s}$, muy por encima de los récords conocidos de tiro libre (Messi $\approx 97\;\text{km/h}$, Ronaldo $\approx 115\;\text{km/h}$); además, un tiro tan poderoso y tan bajo probablemente terminaría sobre el arco o desviado, y exigiría una potencia muscular incompatible con un disparo técnico.

¿Por qué se desprecian la rozamiento y el efecto Magnus en este modelo?

Porque el objetivo es analizar el efecto del ángulo y la velocidad sobre la altura máxima, usando el modelo ideal de caída libre. En la realidad, la resistencia del aire reduce el alcance y la fuerza de Magnus permite que el balón 'rode' (levantarse), de modo que un tiro con efecto podría superar la barrera aunque el modelo ideal no lo prediga.

Temas y conceptos clave

Movimiento parabólico aplicado al tiro libre en fútbolEcuación vectorial de posición de un proyectilAltura máxima y factor de lanzamiento en un ángulo bajoEcuación vectorial de posición $\vec{r}(t)$Velocidad inicial descompuesta: $v_{0x} = v_0\cos\theta$, $v_{0y} = v_0\sin\theta$Aceleración de la gravedad $g = 9{,}8\;\text{m/s}^2$ dirigida hacia abajoAltura máxima $h = \dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}$Modelo ideal sin rozamiento ni efecto Magnus

Fuentes y referencias

https://n9.c/cldr6 (crédito de la ilustración del estadio)

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Figuras de la página (1)

Dos cajas grandes donde el estudiante debe escribir la ecuación vectorial de posición de Messi y de Ronaldo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se escribe la ecuación vectorial de posición de un proyectil en movimiento parabólico?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué un tiro libre a 10 grados no supera una barrera de 3 metros?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué fórmula permite calcular la altura máxima alcanzada por un balón pateado?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Vectores en el plano (componentes i y j) y operación suma de vectores
• Trigonometría básica: seno, coseno y tangente de un ángulo
• Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
• Concepto de aceleración de la gravedad g = 9,8 m/s²
• Conversión de unidades km/h a m/s (dividir entre 3,6)

Siguiente tema sugerido

Tiro parabólico: alcance horizontal y ángulo óptimo de lanzamiento (por qué 45° da el alcance máximo)

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 467 caracteres

e La ecuación vectorial posición para Leonel Messi.

Xx e La ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo.

X b) Con base en las ecuaciones mostradas para Cristiano Ronaldo y Leonel Messi, establezco si

es factible que se realice un tiro libre con un ángulo de 10 grados para superar una barrera de jugadores que, al momento de saltar, alcanzan un máximo de 3 metros de altura.

Justifico mi respuesta.

Fuente: https://n9.cl/cdrb6

34 Texto de Física

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