Ejercicios 23-27: aplicaciones y ecuaciones exponenciales

P(t)=8000+2000\sin(\pi t/4). (a) P(0)=8000+2000\sin 0=8000 orugas. (b) P(5)=8000+2000\sin(5\pi/4)=8000+2000(-\tfrac{\sqrt{2}}{2})\approx 8000-1414.2\approx 6585.8. (c) Máximo cuando \sin=1: P=10\,000 (en t=2, 10). (d) Nota: '6000 individuos' (posible errata '6oo'): 2000\sin(\pi t/4)=-2000\Rightarrow \sin(\pi t/4)=-1\Rightarrow \pi t/4=3\pi/2\Rightarrow t=6 días.

(a) f(x)=(1.5)^{x}: creciente. (b) f(x)=(0.7)^{x}: decreciente. (c) h(x)=5^{0.2x}=5^{x/5}: creciente moderada.

(a) \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2^{n}+n^{2}} converge por comparación con \sum \dfrac{1}{2^{n}}. (b) \sum \dfrac{\sin^{2}(n)}{n(n+1)}\le \sum \dfrac{1}{n(n+1)}=1: converge. (c) \sum \dfrac{1}{n^{n}} converge (comparación con serie geométrica \sum 1/2^{n} para n\ge 2).

(a) 4^{x-1}=3^{3x}\Rightarrow (x-1)\ln 4=3x\ln 3\Rightarrow x(\ln 4-3\ln 3)=\ln 4\Rightarrow x=\dfrac{\ln 4}{\ln 4-\ln 27}=\dfrac{\ln 4}{\ln(4/27)}. Valor negativo. (b) (2.3)^{x}=(1.5)^{x+1}\Rightarrow x\ln 2.3=(x+1)\ln 1.5\Rightarrow x(\ln 2.3-\ln 1.5)=\ln 1.5\Rightarrow x=\dfrac{\ln 1.5}{\ln(2.3/1.5)}. (c) \sqrt{x}=-1: no tiene solución real (raíz cuadrada es no negativa).

N(t)=2500\cdot(1.004)^{t} (interpretando 'B.004t' como 2500\cdot 1.004^{t}). En 2 horas t=120: N(120)=2500\cdot 1.004^{120}\approx 2500\cdot 1.6161\approx 4040 bacterias.