Ejercicio 37: convergencia de sucesiones y METACOGNICIÓN

a_{n}=5,\ b_{n}=-4,\ c_{n}=\tfrac{2}{3}; d_{n}=\dfrac{5a_{n}+3a_{n}b_{n}}{4c_{n}}=\dfrac{5(5)+3(5)(-4)}{4\cdot\tfrac{2}{3}}=\dfrac{25-60}{8/3}=\dfrac{-35\cdot 3}{8}=-\dfrac{105}{8}. Sucesión constante, converge a -\tfrac{105}{8}.

Términos: -\tfrac{2}{1},\ \tfrac{8}{2},\ -\tfrac{26}{6},\ \tfrac{80}{24},\ -\tfrac{242}{120},\ldots Numeradores: 2, 8, 26, 80, 242: diferencias 6,18,54,162, cociente 3; sugiere a_{n}=3^{n}-1: 3^{1}-1=2, 3^{2}-1=8, 3^{3}-1=26, 3^{4}-1=80, 3^{5}-1=242. OK. Denominadores: 1,2,6,24,120=n!. Signos alternantes: (-1)^{n}. Fórmula: a_{n}=(-1)^{n}\dfrac{3^{n}-1}{n!}. Convergencia: \lim_{n\to\infty}\dfrac{3^{n}}{n!}=0 (factorial crece más rápido que exponencial), así que a_{n}\to 0.

Metacognición

Responder: ¿Qué he aprendido? ¿Cómo lo he aprendido? ¿Para qué me ha servido? ¿En qué otras ocasiones puedo usarlo?