Cargas en los vértices de un hexágono y fuerza resultante en el centro

Gráfica y vectores de atracción/repulsión.

En un hexágono regular la distancia desde el centro hasta cualquier vértice es igual al lado:

d_{centro\to\text{vértice}} = L

Numeremos los vértices en sentido antihorario, alternando signos: A=+q, B=-q, C=+q, D=-q, E=+q, F=-q. El par de vértices opuestos siempre tiene signos opuestos (A y D, B y E, C y F).

Aplicando la ley de Coulomb sobre la carga central q_c=+2q:

\vec{F} = k\,\frac{q_c\,q_{\text{v}}}{L^{2}}\,\hat{u}

• Vértices con +q: al ser signos iguales, la fuerza es de repulsión, es decir, la carga central es empujada hacia el vértice opuesto (que es -q).
• Vértices con -q: al ser signos opuestos, la fuerza es de atracción, es decir, la carga central es atraída hacia ese vértice (que es +q).

Resultado gráfico: cada par de vértices opuestos produce dos vectores paralelos y en el mismo sentido, apuntando desde el vértice positivo hacia el vértice negativo, y con módulo idéntico:

F = k\,\frac{(2q)(q)}{L^{2}} = \frac{2kq^{2}}{L^{2}}

flowchart TD
  A["A: +q"] --- C["C: +q"] --- E["E: +q"] --- A
  B["B: -q"] --- D["D: -q"] --- F["F: -q"] --- B
  A --- D
  C --- F
  E --- B
  O(("Centro: +2q"))
  A -->|"F (repulsión)"| D
  D -->|"F (atracción)"| A
  C -->|"F (repulsión)"| F
  F -->|"F (atracción)"| C
  E -->|"F (repulsión)"| B
  B -->|"F (atracción)"| E

Magnitud de la fuerza resultante sobre el centro.

1. El módulo de cada fuerza individual es igual para las seis cargas, porque todas están a la misma distancia L del centro:

F_i = k\,\frac{(2q)(q)}{L^{2}} = \frac{2kq^{2}}{L^{2}}

2. Se agrupan en tres pares antipodales. El par A-D (+q en A, −q en D) da dos vectores en el mismo sentido (de A hacia D):

\vec{F}_{AD} = 2\left(\frac{2kq^{2}}{L^{2}}\right) = \frac{4kq^{2}}{L^{2}}

3. Análogamente: \vec{F}_{CF} = \dfrac{4kq^{2}}{L^{2}} (de C hacia F) y \vec{F}_{EB} = \dfrac{4kq^{2}}{L^{2}} (de E hacia B).

4. Estos tres vectores tienen el mismo módulo y forman ángulos de 120^\circ entre sí (los pares de vértices opuestos están separados por 60^\circ, de modo que los tres ejes se rotan 60^\circ cada uno y, al sumarse pares opuestos, los ejes de acción son A\!\to\!D, C\!\to\!F, E\!\to\!B separados 60^\circ, distribuidos simétricamente).

   Descomponiendo sobre el eje x (tomo A\to D como referencia):

\sum F_x = R\left[\cos 0^\circ + \cos 60^\circ + \cos 120^\circ\right] = R\left(1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\right) = R

Esto no es correcto porque los tres ejes NO están simétricamente distribuidos: los tres vectores resultantes son colineales por pares opuestos. En un hexágono, los tres ejes A\!\to\!D, C\!\to\!F y E\!\to\!B apuntan a tres direcciones separadas por 120^\circ entre sí. Corrigiendo la descomposición con ángulos de 120^\circ:

\sum F_x = R(\cos 0^\circ + \cos 120^\circ + \cos 240^\circ) = R\left(1 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{2}\right) = 0

\sum F_y = R(\sin 0^\circ + \sin 120^\circ + \sin 240^\circ) = R\left(0 + \tfrac{\sqrt{3}}{2} - \tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0

(Equivalente: dos vectores de igual módulo con ángulo de 120^\circ tienen resultante de igual módulo; sumando el tercero se cancela todo.)

5. Por lo tanto la fuerza resultante sobre la carga del centro es:

\boxed{\vec{F}_{\text{resultante}} = \vec{0}}

¿Qué sucede si la carga del centro se cambia por -2q?

La ley de Coulomb es F = k\dfrac{q_1 q_2}{r^2}: al cambiar +2q por -2q el producto q_1q_2 cambia de signo, de modo que todos los vectores se invierten (lo que era repulsión ahora es atracción y viceversa). Los módulos son idénticos, ya que |-2q| = |+2q| y la distancia sigue siendo L:

F' = k\,\frac{(2q)(q)}{L^{2}} = \frac{2kq^{2}}{L^{2}}

Al invertirse todos los vectores, las tres componentes resultantes también se invierten, pero la simetría de la distribución se mantiene intacta. Por lo tanto:

\vec{F}'_{\text{resultante}} = -\vec{0} = \vec{0}

Idea general: cualquier configuración de cargas idénticas en los vértices de un polígono regular produce un campo nulo en el centro; solo cambian los vectores individuales, nunca su suma.