Ministerio de Educación del Ecuador

128/274

Campo eléctrico en el cuarto vértice de un cuadrado con cargas

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 128

128 de 274

Anterior Página 128 / 274 Siguiente

Respuesta rápida

3.a Esquema: cuadrado de lado 1 m con cargas $q_1=20\,\mu\text{C}$ en tres vértices y carga de prueba en el cuarto. 3.b $E_{D}=3{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$ a $45^{\circ}$ sobre el lado (diagonal del cuadrado).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 128

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 3

Sobre tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado se colocan cargas iguales de $q_{1}=20\,\mu\text{C}$ . En el cuarto vértice se coloca una carga de prueba.

Parte 3.a

Esquema de los tres vértices y del cuarto vértice con una carga de prueba

El cuadrado tiene lado $L=1\,\text{m}$ . Se elige el origen en el vértice $A$ y los ejes a lo largo de los lados.
Coordenadas de los cuatro vértices: $A=(0,0)$ , $B=(1,0)$ , $C=(0,1)$ , $D=(1,1)$ (todas en metros).
Se colocan las cargas $q_{1}=20\,\mu\text{C}=20\times10^{-6}\,\text{C}$ en $A$ , $B$ y $C$ (los tres vértices).
En el cuarto vértice $D$ se coloca la carga de prueba $q_{0}$ , que observa el campo eléctrico creado por las tres cargas anteriores.
Las distancias desde $D$ son: a $B$ : $r_{BD}=1\,\text{m}$ ; a $C$ : $r_{CD}=1\,\text{m}$ ; a $A$ : $r_{AD}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}\approx1{,}414\,\text{m}$ (la diagonal).

Respuesta

esquema con $A$ , $B$ , $C$ cargadas con $q_{1}=20\,\mu\text{C}$ y $D$ con la carga de prueba $q_{0}$ , tal como se describe arriba (lado $1\,\text{m}$ , diagonal $\sqrt{2}\,\text{m}$ ).

Parte 3.b

Vector campo eléctrico sobre el cuarto vértice

Se aplica el principio de superposición: $\vec{E}_{D}=\vec{E}_{A}+\vec{E}_{B}+\vec{E}_{C}$ , con la ley de Coulomb para el campo:

$E=k\frac{q_{1}}{r^{2}},\qquad k=9\times10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$

Paso 1. Campo debido a la carga en $A$ (diagonal):

$E_{A}=9\times10^{9}\cdot\frac{20\times10^{-6}}{(\sqrt{2})^{2}}=\frac{1{,}8\times10^{5}}{2}=9{,}0\times10^{4}\,\text{N}/\text{C}$

Dirección: a lo largo de la diagonal $AD$ , es decir, a $45^{\circ}$ respecto de $AB$ . Sus componentes son:

$E_{Ax}=E_{A}\cos45^{\circ}=9{,}0\times10^{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6{,}36\times10^{4}\,\text{N}/\text{C}$

$E_{Ay}=E_{A}\sin45^{\circ}=6{,}36\times10^{4}\,\text{N}/\text{C}$

Paso 2. Campo debido a la carga en $B$ (distancia $1\,\text{m}$ , dirección $+y$ ):

$E_{B}=9\times10^{9}\cdot\frac{20\times10^{-6}}{1^{2}}=1{,}8\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}\quad\Rightarrow\quad E_{Bx}=0,\; E_{By}=1{,}8\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$

Paso 3. Campo debido a la carga en $C$ (distancia $1\,\text{m}$ , dirección $+x$ ):

$E_{C}=9\times10^{9}\cdot\frac{20\times10^{-6}}{1^{2}}=1{,}8\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}\quad\Rightarrow\quad E_{Cx}=1{,}8\times10^{5},\; E_{Cy}=0$

Paso 4. Componentes del campo resultante:

$E_{x}=E_{Ax}+E_{Bx}+E_{Cx}=6{,}36\times10^{4}+0+1{,}8\times10^{5}=2{,}436\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$

$E_{y}=E_{Ay}+E_{By}+E_{Cy}=6{,}36\times10^{4}+1{,}8\times10^{5}+0=2{,}436\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$

Paso 5. Módulo del campo resultante:

$E_{D}=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=\sqrt{2}\cdot\left(2{,}436\times10^{5}\right)=3{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$

Paso 6. Dirección: como $E_{x}=E_{y}>0$ , el ángulo es

$\theta=\arctan\left(\frac{E_{y}}{E_{x}}\right)=\arctan(1)=45^{\circ}$

Es decir, el campo apunta a lo largo de la diagonal $AD$ , alejándose del vértice $A$ (las tres cargas son positivas, así que repele a la carga de prueba).

Respuesta

$\vec{E}_{D}=3{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$ dirigido a $45^{\circ}$ con respecto al lado $AB$ , es decir, a lo largo de la diagonal del cuadrado (hacia el exterior del vértice $D$ ).

Contenido de la página

Problema 3

Sobre cada uno de tres vértices de un cuadrado con un metro por lado se colocan cargas iguales de $q_{1}=20\,\mu\text{C}$ . En el cuarto vértice se coloca una carga de prueba.

a) Esquema de los tres vértices y del cuarto vértice con una carga de prueba

Cuadrado de lado $L=1\,\text{m}$ .
Vértices $A=(0,0)$ , $B=(1,0)$ , $C=(0,1)$ , $D=(1,1)$ .
Cargas $q_{1}=20\,\mu\text{C}$ en $A$ , $B$ y $C$ .
Carga de prueba $q_{0}$ en $D$ .
Distancias a $D$ : $r_{BD}=r_{CD}=1\,\text{m}$ y $r_{AD}=\sqrt{2}\,\text{m}$ .

b) Vector campo eléctrico sobre el cuarto vértice

Se suman vectorialmente los campos producidos por cada carga (principio de superposición):

$\vec{E}_{D}=\vec{E}_{A}+\vec{E}_{B}+\vec{E}_{C}$

Cálculo:

$E_{A}=9\times10^{9}\dfrac{20\times10^{-6}}{(\sqrt{2})^{2}}=9{,}0\times10^{4}\,\text{N}/\text{C}$ (a $45^{\circ}$ )
$E_{B}=E_{C}=9\times10^{9}\dfrac{20\times10^{-6}}{1^{2}}=1{,}8\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$
$E_{x}=6{,}36\times10^{4}+1{,}8\times10^{5}=2{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$
$E_{y}=1{,}8\times10^{5}+6{,}36\times10^{4}=2{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$
$E_{D}=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}=3{,}44\times10^{5}\,\text{N}/\text{C}$ , dirección $45^{\circ}$ (diagonal del cuadrado).

Ejemplos resueltos

Tres cargas de 20 μC están en tres vértices de un cuadrado de 1 m de lado; ¿qué campo eléctrico actúa sobre una carga de prueba colocada en el cuarto vértice?

$E_{A}=9{,}0\times10^{4}$ N/C a 45°, $E_{B}=E_{C}=1{,}8\times10^{5}$ N/C. Componentes: $E_{x}=E_{y}=2{,}44\times10^{5}$ N/C. Resultado: $E_{D}=3{,}44\times10^{5}$ N/C a 45° sobre el lado (diagonal).

Tabla

Vértice	Coordenadas (m)	Distancia a D (m)	Campo (N/C)	Dirección
A	(0,0)	√2 ≈ 1,414	9,0×10⁴	45° sobre AB (diagonal)
B	(1,0)	1	1,8×10⁵	+y (vertical)
C	(0,1)	1	1,8×10⁵	+x (horizontal)
Resultado D	(1,1)	—	3,44×10⁵	45° (diagonal AD)

Diagrama

flowchart LR
  A["A (0,0)\nq₁ = 20 μC"] --- B["B (1,0)\nq₁ = 20 μC"]
  B --- D["D (1,1)\nCarga de prueba q₀"]
  A --- C["C (0,1)\nq₁ = 20 μC"]
  C --- D
  A -.- D
  style D fill:#e1f5fe,stroke:#01579b,stroke-width:2px

Fórmulas y ecuaciones

E = k $\frac{q}{r^{2}}$ con k = $9×10^{9}$ N·m²/C²

$E_{D}=$ $\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}$

E=k $\frac{q}{r^{2}}$

$\vec{E}@@MATH_0@@\vec{E}@@MATH_1@@\vec{E}@@MATH_2@@\vec{E}$ $_{C}$

$E_{x}=E_{x1}+E_{x2}+E_{x3}$

$E_{D}=$ $\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}$

$\theta=\arctan\left(@@MATH_0@@\right)$

Glosario (4)

Campo eléctrico: Vector que describe la intensidad y dirección de la fuerza eléctrica por unidad de carga en un punto del espacio.
Carga de prueba: Carga positiva y pequeña, introducida en un punto para medir el campo eléctrico sin alterarlo.
Principio de superposición: El campo eléctrico total en un punto es la suma vectorial de los campos producidos por cada carga individual.
Unidad de carga: El coulomb (C); 1 μC = 1×10⁻⁶ C.

Temas y conceptos clave

Campo eléctrico de una carga puntualSuperposición vectorial de campos eléctricosDescomposición de vectores en el planoley de Coulombcampo eléctricocarga de pruebadiagonal de un cuadradosuperposición de vectores

¿Te fue útil esta página?