Determinar el potencial eléctrico en el vértice mencionado (el cuarto vértice del cuadrado), que es donde no hay carga colocada.

1. El potencial eléctrico es un escalar: se puede calcular sumando los potenciales de cada carga sin preocuparse por direcciones. Fórmula de un punto a distancia r:

V = k\frac{q}{r}, \qquad k = 9\times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2

2. Sea el cuadrado de lado a y las cargas q_1, q_2 y q_3 en tres de sus vértices (los valores se toman de la página anterior).

3. Distancias desde el cuarto vértice hasta las cargas: dos de las cargas están en vértices adyacentes, a distancia a; la tercera está en el vértice opuesto, a distancia igual a la diagonal, a\sqrt{2}.

4. Superposición de potenciales:

V = k\frac{q_1}{a} + k\frac{q_2}{a\sqrt{2}} + k\frac{q_3}{a} = \frac{k}{a}\left(q_1 + q_3 + \frac{q_2}{\sqrt{2}}\right)

Ejemplo numérico ilustrativo (reemplazando los datos reales de la página anterior): si a = 0{,}20\ \text{m}, q_1 = +3\ \mu\text{C}, q_2 = +3\ \mu\text{C} y q_3 = -3\ \mu\text{C}, entonces

V = \frac{9\times10^{9}}{0{,}20}\left(3\times10^{-6} + (-3\times10^{-6}) + \frac{3\times10^{-6}}{\sqrt{2}}\right) = 4{,}5\times10^{13}\left(\frac{3\times10^{-6}}{1{,}414}\right)

V \approx 9{,}5\times10^{7}\ \text{V}

Determinar el trabajo necesario para mover una carga q = 10\ \mu\text{C} desde el centro del cuadrado hasta el cuarto vértice.

1. El trabajo realizado por un campo conservativo (el electrostático lo es) depende solo de los extremos del recorrido, no del camino:

W = q\,(V_{\text{final}} - V_{\text{inicial}})

2. Aquí V_{\text{final}} es el potencial en el vértice calculado en el literal c) y V_{\text{inicial}} es el potencial en el centro del cuadrado.

3. Potencial en el centro: la distancia desde el centro a cualquier vértice es la mitad de la diagonal, r_c = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a}{\sqrt{2}}. Como las tres cargas están a la misma distancia del centro:

V_{\text{centro}} = k\frac{q_1}{r_c} + k\frac{q_2}{r_c} + k\frac{q_3}{r_c} = \frac{k(q_1+q_2+q_3)}{a/\sqrt{2}} = \frac{k\sqrt{2}}{a}(q_1+q_2+q_3)

4. Sustituyendo q = 10\ \mu\text{C} = 10^{-5}\ \text{C}:

W = 10^{-5}\left[\frac{k}{a}\left(q_1+q_3+\frac{q_2}{\sqrt{2}}\right) - \frac{k\sqrt{2}}{a}(q_1+q_2+q_3)\right]

5. En forma compacta: W = q\,\Delta V, con \Delta V = V_{\text{vértice}} - V_{\text{centro}}. Si V_{\text{vértice}} > V_{\text{centro}} el trabajo es positivo (se necesita aportar energía); si V_{\text{vértice}} < V_{\text{centro}} es negativo (el campo realiza el trabajo).

Ejemplo numérico ilustrativo: si \Delta V = 3{,}0\times10^{7}\ \text{V}, entonces W = 10^{-5}\times3{,}0\times10^{7} = 3{,}0\times10^{2}\ \text{J}.

Explicar qué sucede con el potencial y el campo eléctrico si se cambia de vértice.

1. Potencial: es escalar y solo depende de las distancias a las cargas. Si las tres cargas tienen igual magnitud (o si hay la misma configuración en cada vértice), la disposición respecto al centro es idéntica por simetría, de modo que el potencial en todos los vértices es el mismo: V_{\text{vértice}} = \frac{k}{a}(q_1+q_3+\frac{q_2}{\sqrt{2}}) en cada uno.

2. Campo eléctrico: es vectorial. Aunque la magnitud resultante sea igual en todos los vértices, cambia la dirección: en cada vértice el campo apunta (o se aleja de) lo largo de la diagonal que pasa por ese vértice.

3. Ejemplo: con tres cargas iguales q en los vértices y un cuarto vacío, el campo en el cuarto vértice tiene contribuciones de dos cargas vecinas (magnitud kq/a^{2} cada una, mutuamente perpendiculares) y de la carga opuesta (magnitud kq/(2a)^{2} = kq/(4a^{2}), a lo largo de la diagonal). La resultante es

E = \sqrt{2}\,\frac{kq}{a^{2}} + \frac{kq}{4a^{2}} = \frac{kq}{a^{2}}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{4}\right)

y al moverse al siguiente vértice la magnitud se conserva, pero el vector \vec{E} gira 90^{\circ}.

4. Conclusión: cambiar de vértice no altera el valor del potencial (por simetría y porque es escalar) y tampoco la magnitud del campo, pero sí reorienta el campo eléctrico. Si las cargas no son simétricas, en cambio, el potencial y la magnitud del campo sí cambian de un vértice a otro.