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Campo eléctrico, potencial y trabajo en tres cargas puntuales

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Tres campos en el origen: $q_{1}$ y $q_{2}$ en $+x$ , $q_{3}$ en $+y$ . b) $\vec{E}_{O}=6{,}48\times10^{4}\hat{i}+6{,}75\times10^{4}\hat{j}\ \text{N/C}$ ( $|\vec{E}|\approx9{,}36\times10^{4}\ \text{N/C}$ , $46{,}2^\circ$ ). c) $V_{O}=-1{,}62\times10^{5}\ \text{V}$ . d) $W\approx-2{,}37\times10^{-2}\ \text{J}$ .

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Solución — Página 127

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 2

Tres cargas puntuales: $q_{1}=120\,\mu\text{C}$ en $P_{1}(-5,0)$ , $q_{2}=-60\,\mu\text{C}$ en $P_{2}(5,0)$ y $q_{3}=-120\,\mu\text{C}$ en $P_{3}(0,4)$ . Se usa $k=9\times 10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ y se asumen las coordenadas en metros.

Parte 2.a

Gráfica y fuerzas

Dibujo sobre el plano cartesiano los tres puntos: $P_{1}$ a la izquierda del origen (5 unidades sobre el eje $x$ negativo), $P_{2}$ simétrico a la derecha y $P_{3}$ sobre el eje $y$ positivo (4 unidades). Los vectores de fuerza que actúan sobre el origen son los campos que producen las cargas (o, en una carga de prueba $q_{0}$ , las fuerzas $\vec{F}=q_{0}\vec{E}$ ):

$q_{1}>0$ : el campo apunta desde $P_{1}$ hacia el origen, es decir, en $+\hat{i}$ .
$q_{2}<0$ : el campo apunta hacia $P_{2}$ , es decir, también en $+\hat{i}$ (el eje $x$ es campo paraboloide de fuerzas).
$q_{3}<0$ : el campo apunta hacia $P_{3}$ , es decir, en $+\hat{j}$ .

Respuesta orientativa: tres flechas en el origen: dos hacia $+x$ (las de $q_{1}$ y $q_{2}$ , que se suman) y una hacia $+y$ (la de $q_{3}$ ), cuyo vector resultante forma un ángulo de $\approx 46,2^\circ$ con el eje $x$ .

Parte 2.b

Campo eléctrico en el origen

Distancias desde el origen: $r_{1}=5\,\text{m}$ , $r_{2}=5\,\text{m}$ , $r_{3}=4\,\text{m}$ .
Campo de $q_{1}$ : $E_{1}=k\dfrac{|q_{1}|}{r_{1}^{2}}=(9\times 10^{9})\dfrac{120\times 10^{-6}}{5^{2}}=43\,200\,\text{N/C}$ , en $+\hat{i}$ .
Campo de $q_{2}$ : $E_{2}=k\dfrac{|q_{2}|}{r_{2}^{2}}=(9\times 10^{9})\dfrac{60\times 10^{-6}}{5^{2}}=21\,600\,\text{N/C}$ , en $+\hat{i}$ .
Campo de $q_{3}$ : $E_{3}=k\dfrac{|q_{3}|}{r_{3}^{2}}=(9\times 10^{9})\dfrac{120\times 10^{-6}}{4^{2}}=67\,500\,\text{N/C}$ , en $+\hat{j}$ .
Componentes: $E_{x}=43\,200+21\,600=64\,800\,\text{N/C}$ y $E_{y}=67\,500\,\text{N/C}$ .
Módulo: $E=\sqrt{(64\,800)^{2}+(67\,500)^{2}}=\sqrt{8.755\times 10^{9}}\approx 9.36\times 10^{4}\,\text{N/C}$ .
Dirección: $\theta=\arctan\left(\dfrac{67\,500}{64\,800}\right)=\arctan(1,042)\approx 46,2^\circ$ respecto al eje $x$ .

Respuesta

$\vec{E}_{O}=(6,48\times 10^{4}\,\hat{i}+6,75\times 10^{4}\,\hat{j})\,\text{N/C}$ , con $|\vec{E}|\approx 9,36\times 10^{4}\,\text{N/C}$ .

Parte 2.c

Potencial eléctrico en el origen

Potencial puntual: $V=k\dfrac{q}{r}$ (magnitud escalar, sin dirección).
$V_{1}=k\dfrac{q_{1}}{r_{1}}=(9\times 10^{9})\dfrac{120\times 10^{-6}}{5}=216\,000\,\text{V}$ .
$V_{2}=k\dfrac{q_{2}}{r_{2}}=(9\times 10^{9})\dfrac{-60\times 10^{-6}}{5}=-108\,000\,\text{V}$ .
$V_{3}=k\dfrac{q_{3}}{r_{3}}=(9\times 10^{9})\dfrac{-120\times 10^{-6}}{4}=-270\,000\,\text{V}$ .
Principio de superposición: $V_{O}=216\,000-108\,000-270\,000$ .

Respuesta

$V_{O}=-1,62\times 10^{5}\,\text{V}$ (el origen está en un potencial negativo).

Parte 2.d

Energía para mover $q=1\,\mu\text{C}$ del origen a $P_{3}$

Distancias desde $P_{3}(0,4)$ : $d_{3}=4\,\text{m}$ (hasta $q_{3}$ ) y $d_{1}=d_{2}=\sqrt{5^{2}+4^{2}}=\sqrt{41}\approx 6,403\,\text{m}$ .
Potencial en $P_{3}$ : $V_{P_{3}}=k\left(\dfrac{q_{1}}{\sqrt{41}}+\dfrac{q_{2}}{\sqrt{41}}+\dfrac{q_{3}}{4}\right)=(9\times 10^{9})\left(\dfrac{120\times 10^{-6}}{6,403}+\dfrac{-60\times 10^{-6}}{6,403}-\dfrac{120\times 10^{-6}}{4}\right)$ .
$V_{P_{3}}=(9\times 10^{9})\,(18{,}74\times 10^{-6}-9{,}37\times 10^{-6}-30\times 10^{-6})\approx -1,857\times 10^{5}\,\text{V}$ .
Diferencia de potencial: $\Delta V=V_{P_{3}}-V_{O}=-185\,700-(-162\,000)=-23\,700\,\text{V}$ .
Energía (trabajo del agente externo): $W=q\,\Delta V=(1\times 10^{-6}\,\text{C})(-23\,700\,\text{V})$ .

Respuesta

$W\approx -2,37\times 10^{-2}\,\text{J}$ . Como $\Delta V<0$ , el campo hace trabajo sobre la carga (la atrae hacia $P_{3}$ ), por lo que se requiere una fuerza contraria que absorba $2,37\times 10^{-2}\,\text{J}$ (o, si la carga se deja libre, esa energía se convierte en cinética).

Contenido de la página

2. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación

De igual forma que en la mecánica clásica, es necesario una cantidad de energía para mover un objeto de un punto a otro. Debido al trabajo realizado por las fuerzas, de manera dual, existe cierta cantidad de energía para trasladar una carga de un punto hacia otro.

Si se colocan cargas puntuales $q_{1}=120\,\mu\text{C}$ ; $q_{2}=-60\,\mu\text{C}$ ; $q_{3}=-120\,\mu\text{C}$ colocadas sobre los puntos $P_{1}(-5,0)$ , $P_{2}(5,0)$ y $P_{3}(0,4)$ :

a) Realizo una gráfica representativa de la situación, dibujo las fuerzas.
b) Determino el vector intensidad de campo eléctrico en el origen de coordenadas.
c) Determino el potencial eléctrico sobre el origen de coordenadas.
d) Determino: ¿qué se requiere para mover una carga de $q=1\,\mu\text{C}$ desde el origen de coordenadas hasta el punto $P_{3}$ ?

La página incluye una hoja cuadriculada para el dibujo.

Tabla

Carga	Valor	Posición	Distancia al origen	Campo en el origen	Potencial en el origen
$q_{1}$	$+120\,\mu\text{C}$	$P_{1}(-5,0)$	$5\,\text{m}$	$43\,200\,\hat{i}\ \text{N/C}$	$+216\,000\ \text{V}$
$q_{2}$	$-60\,\mu\text{C}$	$P_{2}(5,0)$	$5\,\text{m}$	$21\,600\,\hat{i}\ \text{N/C}$	$-108\,000\ \text{V}$
$q_{3}$	$-120\,\mu\text{C}$	$P_{3}(0,4)$	$4\,\text{m}$	$67\,500\,\hat{j}\ \text{N/C}$	$-270\,000\ \text{V}$
Resultado				$\vec{E}_{O}=6,48\times10^{4}\,\hat{i}+6,75\times10^{4}\,\hat{j}\ \text{N/C}$	$V_{O}=-1{,}62\times10^{5}\ \text{V}$

Fórmulas y ecuaciones

$\vec{E}_{O}=k\sum_{i}\dfrac{q_{i}}{r_{i}^{2}}\hat{r}_{i}$

$V_{O}=k\sum_{i}\dfrac{q_{i}}{r_{i}}$

$W=q\,\Delta V$

$\vec{E}$ =k $\frac{q}{r^{2}}$ $\hat{r}$

V=k $\frac{q}{r}$

$\vec{E}@@MATH_0@@\vec{E}$ $_{i}$

$V_{total}=\sum_{i}k$ $\frac{q_{i}}{r_{i}}$

$W=q\,(V_{f}-V_{i})$

Glosario (4)

Campo eléctrico: Vector que en cada punto del espacio indica la fuerza que experimentaría una carga de prueba positiva unitaria: $\vec{E}=\vec{F}/q_{0}$.
Potencial eléctrico: Magnitud escalar definida como la energía potencial por unidad de carga, $V=U/q=kq/r$.
Principio de superposición: El campo (o potencial) total en un punto es la suma vectorial (o escalar) de los producidos por cada carga por separado.
Trabajo del agente externo: Energía que debe entregar o absorber un agente externo para mover una carga entre dos puntos: $W=q\Delta V$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el potencial eléctrico se puede sumar como número mientras el campo eléctrico debe sumarse como vector?

Porque el potencial eléctrico es una magnitud escalar definida en términos de energía ($V=U/q$) y no tiene dirección: cada carga contribuye al potencial total en cualquier punto con su valor con signo. El campo eléctrico, en cambio, es un vector que describe fuerzas, y las fuerzas en un punto se superponen según la regla de suma de vectores, por lo que sus componentes deben sumarse en cada eje.

¿Qué le ocurre a la energía de la carga de 1 μC cuando se deja libre en el origen y es atraída hacia P₃?

Su energía potencial eléctrica disminuye en $2{,}37\times10^{-2}\ \text{J}$ y esa energía se transforma en energía cinética: la carga acelera hacia el punto $P_{3}$. Para llegar hasta allí con velocidad nula habría que aplicar una fuerza contraria que absorba exactamente esa energía.

¿Cómo cambiaría el campo en el origen si las cargas se ubicaran en un medio distinto del vacío?

En un material dieléctrico con constante dieléctrica $\kappa$, el campo y el potencial se reducen en el factor $\kappa$ (es decir, $E=\kappa_{c}\,E_{\text{vac}}$ no aplica: $E=E_{\text{vac}}/\kappa$ y $V=V_{\text{vac}}/\kappa$), porque las moléculas del medio se polarizan y generan un campo interno de signo opuesto.

Temas y conceptos clave

Campo eléctrico superpuestoPotencial eléctrico escalarTrabajo del agente en un campo eléctricoVectores campo y fuerza eléctricacampo eléctrico vectorialpotencial eléctrico escalarprincipio de superposicióntrabajo de conservacióndistancias y componentes cartesianas