Calcular las distancias entre las cinco cargas distribuidas en los vértices del prisma con a=1,00 m, b=2,00 m, h=4,00 m.

r_15=1,00 m; r_54=2,00 m; r_23=1,00 m; r_34=4,00 m; r_14=2,24 m; r_52=4,47 m; r_13=4,58 m

Determinar la fuerza eléctrica neta sobre q_1=+40 en el origen, dada por las otras cuatro cargas.

F_1≈8,04 N con componentes (0,63, 8,00, 0,53) N

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cinco cargas distribuidas en los vértices de un prisma rectangular

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Distancias: $a=1{,}00$ m, $b=2{,}00$ m, $h=4{,}00$ m, diagonales 2,24 / 4,47 / 4,58 m. Fuerza neta sobre $q_{1}$ : $F_{1} \approx 8{,}04\,\text{N}$ hacia $+y$ . Energía potencial: $U \approx -81\,\text{J}$ . Potencial en el vértice vacío: $V \approx -2{,}56\times10^{5}\,\text{V}$ .

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 130

Fisica 2° · 2024

Planteamiento del problema

Se colocan cinco cargas puntuales en los vértices de un prisma rectangular:

$q_{1} = +40\,\mu\text{C}$ , $q_{2} = +60\,\mu\text{C}$ , $q_{3} = -100\,\mu\text{C}$ , $q_{4} = -120\,\mu\text{C}$ , $q_{5} = +10\,\mu\text{C}$
$a = 100\,\text{cm} = 1,00\,\text{m}$ ; $b = 2a = 200\,\text{cm} = 2,00\,\text{m}$ ; $h = 400\,\text{cm} = 4,00\,\text{m}$
Constante de Coulomb: $k = 9\times 10^{9}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$

Sistema de referencia (interpretación de la figura): tomando el origen en $q_{1}$ , con $x$ a lo largo de la arista $a$ , $y$ a lo largo de la arista $b$ y $z$ a lo largo de la altura $h$ :

$q_{1}(0,0,0),\quad q_{5}(a,0,0),\quad q_{4}(a,b,0),\quad q_{2}(0,b,h),\quad q_{3}(a,b,h)$

Análisis 1: Distancias entre las cargas

Aristas del prisma: $r_{15} = a = 1{,}00\,\text{m}$ ; $r_{54} = b = 2{,}00\,\text{m}$ ; $r_{23} = a = 1{,}00\,\text{m}$ ; $r_{34} = h = 4{,}00\,\text{m}$ .
Diagonales de la cara inferior: $r_{14} = \sqrt{a^{2}+b^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\,\text{m}$ .
Diagonales de la cara lateral ( $b$ – $h$ ): $r_{52} = r_{35} = \sqrt{b^{2}+h^{2}} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} \approx 4{,}47\,\text{m}$ ; $r_{24} = \sqrt{a^{2}+h^{2}} = \sqrt{1+16} = \sqrt{17} \approx 4{,}12\,\text{m}$ .
Diagonal espacial: $r_{13} = \sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}} = \sqrt{1+4+16} = \sqrt{21} \approx 4{,}58\,\text{m}$ .

Respuesta: $r_{15}=1{,}00\,\text{m}$ , $r_{54}=2{,}00\,\text{m}$ , $r_{23}=1{,}00\,\text{m}$ , $r_{34}=4{,}00\,\text{m}$ , $r_{14}=2{,}24\,\text{m}$ , $r_{52}=4{,}47\,\text{m}$ , $r_{13}=4{,}58\,\text{m}$ .

Análisis 2: Fuerza eléctrica sobre $q_{1}$ (Ley de Coulomb)

La fuerza neta es la suma vectorial de las cuatro interacciones:

$\vec{F}_{1} = \sum_{j\neq 1} k\frac{q_{1}q_{j}}{r_{1j}^{2}}\hat{u}_{1j}$

De $q_{5}$ (repulsiva, $-x$ ): $F = \dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{1^{2}} = 3{,}60\,\text{N} \Rightarrow \vec{F}_{15} = -3{,}60\,\hat{x}$ .
De $q_{4}$ (atractiva, $\hat{u}=(1,2,0)/\sqrt{5}$ ): $F = \dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(120\times10^{-6})}{5} = 8{,}64\,\text{N} \Rightarrow \vec{F}_{14} = (3{,}86,\;7{,}73,\;0)\,\text{N}$ .
De $q_{2}$ (repulsiva, $\hat{u}=(0,-2,-4)/\sqrt{20}$ ): $F = \dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(60\times10^{-6})}{20} = 1{,}08\,\text{N} \Rightarrow \vec{F}_{12} = (0,\;-0{,}48,\;-0{,}97)\,\text{N}$ .
De $q_{3}$ (atractiva, $\hat{u}=(1,2,4)/\sqrt{21}$ ): $F = \dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(100\times10^{-6})}{21} = 1{,}71\,\text{N} \Rightarrow \vec{F}_{13} = (0{,}37,\;0{,}75,\;1{,}50)\,\text{N}$ .
Componentes: $F_{x} = -3{,}60+3{,}86+0{,}37 = 0{,}63\,\text{N}$ ; $F_{y} = 7{,}73-0{,}48+0{,}75 = 8{,}00\,\text{N}$ ; $F_{z} = -0{,}97+1{,}50 = 0{,}53\,\text{N}$ .
Módulo: $F = \sqrt{0{,}63^{2}+8{,}00^{2}+0{,}53^{2}} = \sqrt{0{,}40+64{,}00+0{,}28} = \sqrt{64{,}68} \approx 8{,}04\,\text{N}$ .

Respuesta: $F_{1} \approx 8{,}04\,\text{N}$ , dirigida casi completamente en la dirección $+y$ (hacia la cara posterior del prisma).

Análisis 3: Energía potencial eléctrica de la configuración

$U = k\sum_{i<j}\frac{q_{i}q_{j}}{r_{ij}}$

Par	$q_iq_j\;(\mu\text{C}^2)$	$r$ (m)	$q_iq_j/r$ (µC²/m)
1–5	$+400$	$1{,}00$	$+400{,}0$
1–4	$-4800$	$2{,}236$	$-2146{,}6$
1–2	$+2400$	$4{,}472$	$+536{,}7$
1–3	$-4000$	$4{,}583$	$-872{,}9$
5–4	$-1200$	$2{,}00$	$-600{,}0$
5–2	$+600$	$4{,}583$	$+130{,}9$
5–3	$-1000$	$4{,}472$	$-223{,}6$
2–3	$-6000$	$1{,}00$	$-6000{,}0$
2–4	$-7200$	$2{,}236$	$-3219{,}9$
3–4	$+12000$	$4{,}00$	$+3000{,}0$

Suma: $\sum = -8995{,}4\;\mu\text{C}^2/\text{m}$ .

$U = (9\times10^{9})(10^{-12})(-8995{,}4) = -8{,}09\times10^{1}\,\text{J}$

Respuesta: $U \approx -81{,}0\,\text{J}$ (el sistema es ligado: predomina la atracción).

Análisis 4: Potencial eléctrico en el vértice vacío $P(0,0,h)$

$V_{P} = k\left[\frac{q_{1}}{h} + \frac{q_{5}}{\sqrt{a^{2}+h^{2}}} + \frac{q_{4}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}} + \frac{q_{2}}{b} + \frac{q_{3}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\right]$

$V_{P} = 9\times10^{9}\times10^{-6}\left[\frac{40}{4} + \frac{10}{4{,}123} - \frac{120}{4{,}583} + \frac{60}{2} - \frac{100}{2{,}236}\right]$
$V_{P} = 9\times10^{3}\,[10{,}00 + 2{,}42 - 26{,}18 + 30{,}00 - 44{,}72] = 9\times10^{3}\times(-28{,}48)$
$V_{P} \approx -2{,}56\times10^{5}\,\text{V}$ .

Respuesta: $V_{P} \approx -2{,}56\times10^{5}\,\text{V}$ : en ese punto el efecto de las cargas negativas $q_{3}$ y $q_{4}$ domina, lo que sugiere que una carga positiva colocada allí sería atraída hacia el prisma.

Análisis 5: Predicción cualitativa del movimiento

Como $U<0$ y $F_{1}$ apunta hacia $+y$ , las cargas negativas $q_{3}, q_{4}$ atraen fuertemente a las positivas.
La configuración no es estática: sobre cada carga actúa una fuerza neta distinta de cero; por ejemplo, sobre $q_{1}$ predomina la atracción hacia la cara $y=b$ .
Para generar el modelo matemático solicitado, los matemáticos deben integrar $\vec{F} = m\vec{a}$ para cada carga, con las posiciones iniciales y velocidades dadas por el laboratorio.

Contenido de la página

Cinco cargas en un prisma rectangular

4. Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

En un laboratorio de física se realizan simulaciones para conocer el comportamiento de cargas eléctricas en el espacio. Para ello, es necesario predecir su movimiento a fin de entregar un estimado a los matemáticos para generar un modelo que entre en funcionamiento.

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prisma rectangular, sabiendo que las cargas son:

$q_{1}=+40\,\mu\text{C};\quad q_{2}=+60\,\mu\text{C};\quad q_{3}=-100\,\mu\text{C};\quad q_{4}=-120\,\mu\text{C};\quad q_{5}=+10\,\mu\text{C}$

las medidas de la base del prisma son $a = 100\,\text{cm}$ ; $b = 2a$ ; y de $h = 400\,\text{cm}$ .

Fuente de la figura: https://n9.cl/6ricrz

Nota: el enunciado los presenta con signo explícito; en la figura aparecen etiquetados como $+q_{1}$ , $+q_{2}$ , $-q_{3}$ , $-q_{4}$ , $+q_{5}$ , lo que confirma los signos dados.

Ejemplos resueltos

Calcular la fuerza eléctrica ejercida por $q_{5}=+10\,\mu\text{C}$ sobre $q_{1}=+40\,\mu\text{C}$ separadas por la arista $a=1\,\text{m}$ .

$F = \dfrac{(9\times10^{9})(40\times10^{-6})(10\times10^{-6})}{(1{,}00)^{2}} = 3{,}60\,\text{N}$ ; al tener el mismo signo, es de repulsión.

Tablas (2)

Carga	Valor	Posición (m)	Signo
$q_{1}$	$+40\,\mu\text{C}$	$(0,0,0)$	positiva
$q_{5}$	$+10\,\mu\text{C}$	$(1,0,0)$	positiva
$q_{4}$	$-120\,\mu\text{C}$	$(1,2,0)$	negativa
$q_{2}$	$+60\,\mu\text{C}$	$(0,2,4)$	positiva
$q_{3}$	$-100\,\mu\text{C}$	$(1,2,4)$	negativa

Par	Distancia (m)	$q_iq_j\;(\mu\text{C}^2)$	Tipo
1–5	1,00	$+400$	repulsiva
2–3	1,00	$-6000$	atractiva
5–4	2,00	$-1200$	atractiva
1–4 / 2–4	2,24	$-4800$ / $-7200$	atractivas
1–2 / 5–3	4,47	$+2400$ / $-1000$	mixtas
3–4	4,00	$+12000$	repulsiva

Diagrama

graph TD
  subgraph PrismaRectangular[Prisma rectangular a=1 m, b=2 m, h=4 m]
    P1[q1 = +40 µC<br/>(0,0,0)] --- P5[q5 = +10 µC<br/>(1,0,0)]
    P5 --- P4[q4 = -120 µC<br/>(1,2,0)]
    P4 --- P3[q3 = -100 µC<br/>(1,2,4)]
    P3 --- P2[q2 = +60 µC<br/>(0,2,4)]
    P2 --- P1
    P1 --- P2
    P4 --- P2
  end

Fórmulas y ecuaciones

F = k $\dfrac{|q_1 q_2|}{r^{2}}$

U = k $\displaystyle\sum_{i<j}$ $\dfrac{q_i q_j}{r_{ij}}$

V = k $\dfrac{q}{r}$

F = k $\frac{|q_1 q_2|}{r^{2}}$

$\vec{F}$ = k $\frac{q_1 q_2}{r^{2}}$ $\hat{u}$

U = k $\sum_{i<j}$ $\frac{q_i q_j}{r_{ij}}$

V = k $\frac{q}{r}$

$r_{13}$ = $\sqrt{a^{2}+b^{2}+h^{2}}$

Glosario (6)

Carga puntual: Carga eléctrica concentrada en un punto del espacio, sin extensión, que se modela idealmente como un punto geométrico.
Ley de Coulomb: Ley que establece que la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de sus cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.
Energía potencial eléctrica: Energía almacenada en un sistema de cargas por virtud de su configuración; para dos cargas vale $U = k q_1 q_2 / r$.
Potencial eléctrico: Magnitud escalar que representa la energía potencial por unidad de carga en un punto del espacio, $V = k q / r$.
Vector unitario: Vector de módulo 1 que indica únicamente la dirección de una magnitud vectorial.
Prisma rectangular: Sólido con dos bases rectangulares paralelas e iguales unidas por rectángulos perpendiculares a las bases.

Preguntas para practicar

¿Qué modelo matemático entregarían los matemáticos para describir el movimiento de estas cinco cargas a partir del problema planteado?

Plantearían un sistema de $3N$ ecuaciones diferenciales de segundo orden, $m_i\,\frac{d^{2}\vec{r}_i}{dt^{2}} = \sum_{j\neq i} k\frac{q_iq_j}{r_{ij}^{3}}\vec{r}_{ij}$, con condiciones iniciales (posiciones y velocidades). Como las cargas no tienen masa asignada en el enunciado, primero habría que suponerlas puntuales y masivas, o considerar su momento según el contexto.

¿Por qué la energía potencial de esta configuración resulta negativa y qué indica ello para el laboratorio?

Es negativa porque dominan los pares atractivos de cargas de signo opuesto y a corta distancia (por ejemplo $q_2$–$q_3$ separadas 1 m y $q_2$–$q_4$ separadas 2,24 m) frente a los pares repulsivos. Significa que el sistema está ligado: se necesitaría aportar energía para separar completamente las cargas.

Temas y conceptos clave

Electrostática tridimensionalLey de Coulomb en tres dimensionesEnergía potencial eléctrica de configuraciones de cargasPotencial eléctrico en un puntocarga eléctrica puntualfuerza de Coulombvector unitarioenergía potencial eléctricapotencial eléctricoprisma rectangulardiagonal espacialsistema de referencia 3D

Fuentes y referencias

https://n9.cl/6ricrz (fuente de la figura del prisma con cargas)

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Figuras de la página (1)

Diagrama 3D de un prisma rectangular en perspectiva con cinco esferas verdes cargadas en sus vértices: +q1 abajo a la izquierda, +q5 abajo al centro, -q4 abajo a la derecha, +q2 arriba a la izquierda y -q3 en la cara posterior derecha. Aparecen las etiquetas de longitud 'a' (arista inferior frontal), 'b' (arista lateral inferior) y 'h' (altura vertical). Líneas punteadas trazan las aristas del prisma. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la fuerza eléctrica neta sobre una carga en un sistema tridimensional?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué significa que la energía potencial eléctrica de un sistema sea negativa?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se determinan las distancias entre los vértices de un prisma rectangular?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Ley de Coulomb: $F = k\dfrac{|q_1 q_2|}{r^{2}}$
• Concepto de vector unitario y suma de fuerzas en 3D
• Distancias entre puntos en el espacio (Teorema de Pitágoras generalizado)
• Carga eléctrica, carga elemental y magnitudes de $\mu\text{C}$
• Energía potencial de interacción entre dos cargas: $U = k\dfrac{q_i q_j}{r_{ij}}$
• Potencial eléctrico como cantidad escalar: $V = k\dfrac{q}{r}$

Siguiente tema sugerido

Actividades que complementan el problema: calcular la fuerza neta sobre cada una de las cinco cargas y la energía total del sistema.

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 648 caracteres

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

Se colocan cinco cargas (como las que se muestran en la figura) que representan un prima rectangular, sabiendo que las cargas son: q, =+40 uC; q, =+60 uC; q, =-100 pC; q, =-120 UC; q ¿ =10pC , las medidas de la base del prisma son a=100 cm; b=2a, y de h=400 cm.

Fuente: httpsi/In9.cl/Grierz

Texto de Física

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