Movimiento rectilíneo: descripción de gráficos x-t, v-t y a-t y problema de transporte

Describir de forma ingeniosa el movimiento del vehículo de Batman a partir de las gráficas de posición x(t), velocidad v(t) y aceleración a(t).

1. Identifico las tres gráficas: la superior es x vs. t (posición), la intermedia es v vs. t (velocidad) y la inferior es a vs. t (aceleración). Las tres describen el mismo movimiento, por lo que deben ser coherentes entre sí.
2. Tramo 1: t = 0 a t = 5 \text{s} (arranque). La velocidad crece linealmente de 0 a 6 \text{m/s}, así que la aceleración es constante: a_1 = \frac{v_f - v_i}{\Delta t} = \frac{6 - 0}{5 - 0} = 1{,}2 \text{m/s}^{2}, que coincide con el valor marcado en la gráfica de aceleración. La posición que se recorre es el área del triángulo bajo v(t): x_1 = \frac{1}{2} b h = \frac{1}{2} (5)(6) = 15 \text{m}, exactamente el valor 15 \text{m} indicado en la gráfica de posición.
3. Tramo 2: t = 5 \text{s} a t = 15 \text{s} (velocidad constante). La velocidad se mantiene en v = 6 \text{m/s}, por lo tanto a_2 = 0 \text{m/s}^{2} (segmento horizontal en a = 0). El desplazamiento es el área del rectángulo: x_2 = v\,\Delta t = 6 \times 10 = 60 \text{m}. Posición acumulada: x = 15 + 60 = 75 \text{m}, que coincide con el valor 75 \text{m} de la gráfica de posición.
4. Tramo 3: t = 15 \text{s} hasta el instante en que se detiene (frenado). La velocidad baja linealmente de 6 a 0 \text{m/s} con a_3 = -0{,}72 \text{m/s}^{2} (la gráfica lo muestra por debajo del eje). El tiempo de frenado es \Delta t_3 = \frac{0 - 6}{-0{,}72} = 8{,}33 \text{s}, es decir, se detiene en t \approx 23{,}3 \text{s}. El desplazamiento durante la frenada es x_3 = \frac{v_f^2 - v_i^2}{2a} = \frac{0^2 - 6^2}{2(-0{,}72)} = \frac{-36}{-1{,}44} = 25 \text{m}.
5. Comprobación de coherencia. Posición final: x_{final} = 75 + 25 = 100 \text{m}, que es justo el valor tope marcado en la gráfica de posición. También se obtiene como área total bajo la curva v(t): 15 + 60 + 25 = 100 \text{m}. Todo cuadra.
6. Descripción ingeniosa (estilo Batman). El Batmóvil parte del reposo y "dispara" con una aceleración constante de 1{,}2 \text{m/s}^{2} durante 5 \text{s} hasta alcanzar 6 \text{m/s} y 15 \text{m} de recorrido; luego patrulla a velocidad crucero constante de 6 \text{m/s} durante 10 \text{s} avanzando otros 60 \text{m}; finalmente frena con suave desaceleración de 0{,}72 \text{m/s}^{2} durante 8{,}3 \text{s}, recorriendo 25 \text{m} más y deteniéndose exactamente en la posición x = 100 \text{m} en t \approx 23{,}3 \text{s}. En una frase: arranca fuerte, corre parejo y frena sin golpes.

Un trabajador del almacén del centro comercial 1 debe transportar un paquete al centro comercial 2; el cliente lo retirará en aproximadamente 35 \text{min}. Planificar el movimiento para que el paquete llegue a tiempo.

1. Convierto el tiempo límite a segundos: t_{max} = 35 \text{min} \times 60 \text{s/min} = 2100 \text{s}.
2. Debo diseñar un movimiento (por ejemplo, con las tres fases del ejercicio 5: acelerar, ir a velocidad constante y frenar) cuya duración total verifique t_{total} \le 2100 \text{s}, dejando un margen de seguridad de al menos 5 \text{min}, es decir, t_{total} \le 1800 \text{s}.
3. Si la distancia entre ambos almacenes es d, la velocidad media mínima necesaria es \bar{v} = \frac{d}{t_{max}}. Por ejemplo, si d = 5 \text{km} = 5000 \text{m}: \bar{v} = \frac{5000}{2100} \approx 2{,}4 \text{m/s} \approx 8{,}6 \text{km/h}.
4. Como \bar{v} = \frac{d}{t_{max}} es pequeña comparada con la velocidad de crucero habitual, el plan factible es: arrancar con aceleración moderada, mantener una velocidad cómoda por debajo del límite y frenar suavemente antes de llegar al centro comercial 2.
5. Verifico la condición: si el recorrido completo (incluida la carga y descarga) dura menos de 35 \text{min}, el paquete estará disponible para el pariente del cliente.

Respuesta orientativa: Conviene dividir el trayecto en tres tramos (acelerar, velocidad constante y frenar), comprobar que t_{total} \le 2100 \text{s} y que \bar{v} = d/t_{max} sea alcanzable, dejando un margen de seguridad de 5 minutos respecto a los 35 minutos acordados con el cliente.