**a) Completo la tabla con base en el estudio de pendiente y áreas del Gráfico 1 (reporte de scanner vehicular).** Para cada intervalo: aceleración (pendiente), distancia/desplazamiento recorrido (área), posición y tipo de movimiento. El intervalo t(0–4) s ya aparece como ejemplo: a_1=6-2/4-0=1 m/s^2, A_1=≤ft[4·4/2]+(4·2)=16 m, posición 16 i m, MRUV (acelerado).

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Estudio de pendientes y áreas en un gráfico velocidad–tiempo de un vehículo

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Respuesta rápida

a) Tabla completa: a₁=1 m/s² y 16 m (0–4 s); a₂=0 y 12 m (4–6 s); a₃=−1,5 m/s² y 12 m (6–10 s); a₄=0 y 0 m (10–12 s); a₅=−1 m/s² y −8 m (12–16 s); a₆=0 y −8 m (16–18 s); a₇=2 m/s² y −4 m (18–20 s). Posición final: 20 i (m); distancia total: 60 m.

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Solución — Página 13

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

(a)

Enunciado: Completo la Tabla 4 (estudio de pendiente y áreas) a partir del Gráfico 1 (reporte de scanner vehicular), calculando aceleración, distancia recorrida, posición y tipo de movimiento en cada intervalo.

Marco teórico

La pendiente de la curva $v(t)$ es la aceleración: $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$
El área bajo la curva $v$ – $t$ es el desplazamiento: $\Delta x=\int v\,dt$
La posición se obtiene sumando las áreas con signo desde $x_0=0$ en $t=0$ : $x_n=x_0+\sum \Delta x_i$ .
Áreas sobre el eje ( $v>0$ ): desplazamiento positivo; áreas bajo el eje ( $v<0$ ): desplazamiento negativo (el vehículo retrocede).

Puntos leídos del gráfico: $A(0,2)$ , $B(4,6)$ , $C(6,6)$ , $D(10,0)$ , $E(12,0)$ , $F(16,-4)$ , $G(18,-4)$ , $H(20,0)$ (en m/s y s).

Intervalo $t(0\text{-}4)$ s — ejemplo del libro

Pendiente: $a_1=\frac{6-2}{4-0}=\frac{4}{4}=1\ \text{m/s}^2$ .
Área: $A_1=\left[\frac{4\cdot 4}{2}\right]+(4\cdot 2)=8+8=16\ \text{m}$ (triángulo + rectángulo).
Posición: $x_1=0+16=16\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $a>0$ y $v$ crece de 2 a 6 m/s → MRUV acelerado.

Intervalo $t(4\text{-}6)$ s

Pendiente: $a_2=\frac{6-6}{6-4}=\frac{0}{2}=0$ .
Área (rectángulo): $A_2=6\cdot 2=12\ \text{m}$ .
Posición: $x_2=16+12=28\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $v=6$ m/s constante → MRUV (velocidad uniforme).

Intervalo $t(6\text{-}10)$ s

Pendiente: $a_3=\frac{0-6}{10-6}=\frac{-6}{4}=-1,5\ \text{m/s}^2$ .
Área (triángulo + rectángulo, o trapecio): $A_3=\left[\frac{6\cdot 4}{2}\right]+(0\cdot 4)=12+0=12\ \text{m}$ .
Posición: $x_3=28+12=40\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $a<0$ y $v$ baja de 6 a 0 m/s → MRUV desacelerado (frenado).

Intervalo $t(10\text{-}12)$ s

Pendiente: $a_4=\frac{0-0}{12-10}=0$ .
Área: la curva está sobre el eje de tiempos, $A_4=0\ \text{m}$ .
Posición: $x_4=40+0=40\ \hat{i}\ \text{m}$ (posición máxima del recorrido).
Tipo de movimiento: $v=0$ → en reposo (MRUV con $v=a=0$ ).

Intervalo $t(12\text{-}16)$ s

Pendiente: $a_5=\frac{-4-0}{16-12}=\frac{-4}{4}=-1\ \text{m/s}^2$ .
Área (bajo el eje): $A_5=\left[\frac{(0-4)}{2}\right]\cdot 4=-8\ \text{m}$ (8 m en el sentido negativo).
Posición: $x_5=40-8=32\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $v<0$ y $|v|$ crece → MRUV acelerado hacia atrás (frena hacia el sentido negativo).

Intervalo $t(16\text{-}18)$ s

Pendiente: $a_6=\frac{-4-(-4)}{18-16}=\frac{0}{2}=0$ .
Área (bajo el eje): $A_6=(-4)\cdot 2=-8\ \text{m}$ .
Posición: $x_6=32-8=24\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $v=-4$ m/s constante → MRUV uniforme en sentido negativo.

Intervalo $t(18\text{-}20)$ s

Pendiente: $a_7=\frac{0-(-4)}{20-18}=\frac{4}{2}=2\ \text{m/s}^2$ .
Área (bajo el eje): $A_7=\left[\frac{(-4+0)}{2}\right]\cdot 2=-4\ \text{m}$ .
Posición: $x_7=24-4=20\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Tipo de movimiento: $a>0$ pero $v$ pasa de $-4$ a 0 m/s → MRUV desacelerado (frena en el sentido negativo).

Comprobación global

Desplazamiento total: $\Delta x_{tot}=16+12+12+0-8-8-4=20\ \text{m}$ , es decir, $x_f=20\ \hat{i}\ \text{m}$ en $t=20$ s, lo que coincide con la posición del punto $H$ .
Distancia total recorrida (suma de valores absolutos de las áreas): $d_{tot}=16+12+12+0+8+8+4=60\ \text{m}$ .

Respuesta

Tabla completa (ver tabla en content_data.tablas_md): en $t=20$ s la posición final es $20\ \hat{i}\ \text{m}$ , con $60\ \text{m}$ recorridos.

Contenido de la página

Gráfico 1: reporte de scanner vehicular

Curva velocidad–tiempo $v(t)$ , en m/s vs. s, con los puntos $A(0,2)$ , $B(4,6)$ , $C(6,6)$ , $D(10,0)$ , $E(12,0)$ , $F(16,-4)$ , $G(18,-4)$ y $H(20,0)$ .

a) Estudio de pendiente y áreas

Completar la Tabla 4 con la aceleración (pendiente), la distancia/desplazamiento (área), la posición y el tipo de movimiento de cada intervalo.

Datos clave:

$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$
$\Delta x=\int v\,dt$ (área bajo la curva, con signo)
$x_n=x_0+\sum_{i} \Delta x_i$ , con $x_0=0$ en $t=0$

El ejemplo del libro corresponde al intervalo $t(0\text{-}4)$ s: $a_1=\frac{6-2}{4-0}=1\ \text{m/s}^2$ ; $A_1=\left[\frac{4\cdot4}{2}\right]+(4\cdot2)=16\ \text{m}$ ; posición $16\ \hat{i}\ \text{m}$ ; MRUV acelerado.

Ejemplos resueltos

Intervalo t(0–4) s (ejemplo del libro): determinar aceleración, distancia recorrida, posición y tipo de movimiento con el gráfico 1.

Pendiente: $a_1=\frac{6-2}{4-0}=1\ \text{m/s}^2$ .
Área: triángulo de base 4 s y altura $6-2=4$ m/s, más rectángulo de base 4 s y altura 2 m/s: $A_1=\left[\frac{4\cdot4}{2}\right]+(4\cdot2)=8+8=16\ \text{m}$ .
Posición: $x_1=0+16=16\ \hat{i}\ \text{m}$ .
Como $a>0$ y $v$ aumenta, el movimiento es MRUV acelerado.

Tabla

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA/DESPLAZAMIENTO (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
t(0–4) s	$a_1=\frac{6-2}{4-0}=1\ \text{m/s}^2$	$A_1=\left[\frac{4\cdot4}{2}\right]+(4\cdot2)=16\ \text{m}$	$16\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (acelerado)
t(4–6) s	$a_2=\frac{6-6}{6-4}=0$	$A_2=6\cdot2=12\ \text{m}$	$28\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (velocidad constante)
t(6–10) s	$a_3=\frac{0-6}{10-6}=-1,5\ \text{m/s}^2$	$A_3=\frac{(6+0)}{2}\cdot4=12\ \text{m}$	$40\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (desacelerado, frenado)
t(10–12) s	$a_4=\frac{0-0}{12-10}=0$	$A_4=0$	$40\ \hat{i}\ \text{m}$	En reposo
t(12–16) s	$a_5=\frac{-4-0}{16-12}=-1\ \text{m/s}^2$	$A_5=\frac{(0-4)}{2}\cdot4=-8\ \text{m}$	$32\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (aceleración negativa, retrocede)
t(16–18) s	$a_6=\frac{-4-(-4)}{18-16}=0$	$A_6=(-4)\cdot2=-8\ \text{m}$	$24\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (velocidad negativa constante)
t(18–20) s	$a_7=\frac{0-(-4)}{20-18}=2\ \text{m/s}^2$	$A_7=\frac{(-4+0)}{2}\cdot2=-4\ \text{m}$	$20\ \hat{i}\ \text{m}$	MRUV (desacelerado, frena en sentido negativo)
Total	—	$\Delta x_{tot}=20\ \text{m}$ ; $d_{tot}=60\ \text{m}$	$20\ \hat{i}\ \text{m}$	—

Fórmulas y ecuaciones

Pendiente de la gráfica v–t: a = $(v_f$ − $v_i)/(t_f$ − $t_i)$

Área del triángulo: (base × altura)/2

Área del rectángulo: base × altura

Área del trapecio: [(h₁ + h₂)/2] × base

Posición por suma de áreas con signo: $x_n$ = $x_0$ + Σ $Δx_i$

a= $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ = $\frac{v_f-v_i}{t_f-t_i}$

$\Delta$ $x=\int_{t_i}^{t_f}$ $v(t)\,dt=$ $\text{área bajo la curva }$ v $\text{–}$ t

$x_f=x_i+\sum$ $\Delta$ x

$d_{@@MATH_0@@}=\sum$ $|\Delta$ $x_i|$

Glosario (5)

Pendiente: Razón entre la variación de la variable vertical y la horizontal ($\Delta v/\Delta t$); en un gráfico $v$–$t$ equivale a la aceleración.
Área bajo la curva: Superficie limitada entre la gráfica $v(t)$ y el eje de tiempos; representa el desplazamiento del móvil en ese intervalo.
Desplazamiento: Cambio de posición con signo; en el gráfico $v$–$t$ corresponde al área algebraica (las áreas bajo el eje son negativas).
Distancia recorrida: Longitud total del camino, sin importar el sentido; se obtiene sumando los valores absolutos de las áreas.
MRUV: Movimiento rectilíneo uniformemente variado: la aceleración es constante en cada tramo; si $a$ y $v$ tienen el mismo signo el móvil acelera, si tienen signos opuestos desacelera.

Preguntas para practicar

¿Qué significa que el área quede bajo el eje de tiempos en un gráfico velocidad–tiempo?

Significa que la velocidad es negativa, es decir, que el móvil se desplaza en el sentido opuesto al positivo definido por el eje. El desplazamiento es negativo (la posición disminuye), aunque la distancia recorrida se mide en valor absoluto.

Temas y conceptos clave

Interpretación de gráficos velocidad–tiempoPendiente como aceleraciónÁrea bajo la curva como desplazamientoCálculo de posición y tipo de movimiento por intervalospendienteaceleraciónárea bajo la curvadesplazamientoposiciónMRUV aceleradoMRUV desaceleradomovimiento uniformesentido negativo del movimiento

Fuentes y referencias

https://n9.cl/eji1k (indicada en la página como fuente del gráfico)

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Figuras de la página (1)

Gráfico velocidad–tiempo 'reporte de scanner vehicular': eje vertical en m/s con marcas de −4 a 8, eje horizontal en segundos de 0 a 20. La curva sube desde A(0,2) hasta B(4,6), se mantiene horizontal hasta C(6,6), desciende hasta D(10,0), permanece en cero hasta E(12,0), desciende a F(16,−4), se mantiene hasta G(18,−4) y sube hasta H(20,0). En cada punto se ilustra un vehículo. — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la aceleración a partir de un gráfico velocidad–tiempo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué representa el área bajo la curva de un gráfico v–t?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo saber si un objeto se está acelerando o desacelerando en una gráfica v–t?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Saber interpretar un gráfico cartesiano (ejes, unidades y coordenadas)
• Conocer el concepto de pendiente de una recta: a = Δy/Δx
• Entender que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con el tiempo
• Saber calcular áreas de triángulos, rectángulos y trapecios
• Distinguir distancia recorrida y desplazamiento (signo de las áreas)