Completar la Tabla 5: INTERVALO | ACELERACIÓN (PENDIENTE) | DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA) | POSICIÓN | TIPO DE MOVIMIENTO, usando el gráfico 1.

a= v/ t, x=área, x_i+1=x_i+ x_i

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cálculo de variables cinemáticas a partir del gráfico de velocidad-tiempo

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Respuesta rápida

Tabla 5: a = Δv/Δt (pendiente), Δx = área bajo v(t), $x_{i+1}$ = $x_i$ + $Δx_i$ . b) $x_f$ = área neta; d = Σ|Δx|; mayor distancia = mayor $|Δx_i|$ ; v̄(6 s) = [x(6)−x(0)]/6; reposo: ΣΔt|v=0; retroceso: ΣΔt|v<0.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 14

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

(Tabla 5: Cálculo de variables)

Completar la tabla de intervalos usando el gráfico de velocidad vs. tiempo (gráfico 1, página anterior).

La tabla se llena así, intervalo por intervalo $[t_i, t_{i+1}]$ :

Aceleración (pendiente): es la pendiente de la recta de $v(t)$ en ese intervalo: $a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_{i+1} - v_i}{t_{i+1} - t_i}$ Si la recta es horizontal, $a = 0$ ; si sube, $a > 0$ ; si baja, $a < 0$ .
Distancia recorrida (área): es el área bajo la curva $v(t)$ en ese intervalo (triángulo: $\frac{1}{2} b \cdot h$ ; rectángulo: $b \cdot h$ ; trapecio: $\frac{b_1+b_2}{2} h$ ): $\Delta x = \int_{t_i}^{t_{i+1}} v(t)\,dt$
Posición: suma acumulada de las áreas con signo, desde $x_0$ : $x(t_{i+1}) = x(t_i) + \Delta x_i$
Tipo de movimiento: se determina con a y v:
- $v>0$ , $a=0$ : reposo/movimiento uniforme positivo.
- $v>0$ , $a>0$ : uniformemente acelerado positivo.
- $v>0$ , $a<0$ : uniformemente retardado.
- $v=0$ : en reposo.
- $v<0$ : movimiento en sentido contrario (retroceso).

Nota: los valores numéricos de cada fila se leen del gráfico 1, ubicado en la página anterior, que no forma parte de esta imagen; por eso la tabla se deja con el procedimiento y no con cifras inventadas.

Respuesta

tabla completada siguiendo $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$ , $\Delta x =$ área bajo $v(t)$ , $x_{i+1}=x_i+\Delta x_i$ y la clasificación de movimiento.

Ejercicio 2

(literal b)

Se pide escribir la información correspondiente tomando en cuenta el gráfico 1.

Parte 2.a

La posición final de la partícula

La posición es el área bajo la gráfica $v(t)$ con signo (las áreas por debajo del eje $t$ se restan).
Se suman las áreas de todos los intervalos: $x_f = x_0 + \sum_i \Delta x_i$ , con $\Delta x_i$ delante de la tabla.

Respuesta

$x_f = x_0 + \sum_i \Delta x_i$ (área neta con signo del gráfico 1).

Parte 2.b

La distancia total recorrida

La distancia usa valores absolutos: se ignoran los signos de cada área.
$d = \sum_i |\Delta x_i|$ .

Respuesta

$d = \sum_i |\Delta x_i|$ (suma de áreas en valor absoluto).

Parte 2.c

El intervalo donde recorrió mayor distancia

Se calcula $|\Delta x_i|$ de cada fila de la Tabla 5.
Se compara y se elige el mayor.

Respuesta

el intervalo $[t_i, t_{i+1}]$ cuya $|\Delta x_i|$ sea máxima.

Parte 2.d

La velocidad media a los 6 segundos

Velocidad media: $\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ .
Con $t_0 = 0$ : $\bar{v} = \frac{x(6) - x(0)}{6 - 0}$ , donde $x(6)$ es la posición a los 6 s (área neta hasta $t=6$ ).
Se sustituyen los valores del gráfico y se divide entre $6\,\text{s}$ .

Respuesta

$\bar{v} = \dfrac{x(6)-x(0)}{6\,\text{s}}$ .

Parte 2.e

El tiempo que permaneció en reposo

En reposo cuando $v = 0$ : los tramos donde la gráfica toca el eje horizontal.
Se suma la duración de esos tramos: $t_{\text{reposo}} = \sum \Delta t\big|_{v=0}$ .

Respuesta

$t_{\text{reposo}} = \sum \Delta t\big|_{v=0}$ .

Parte 2.f

El tiempo que el vehículo realizó un retroceso

Retroceso cuando $v < 0$ (gráfica por debajo del eje $t$ ).
Se suma la duración de esos intervalos: $t_{\text{retroceso}} = \sum \Delta t\big|_{v<0}$ .

Respuesta

$t_{\text{retroceso}} = \sum \Delta t\big|_{v<0}$ .

Contenido de la página

Tabla 5: Cálculo de variables

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
$[t_0,t_1]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_1$ (área)	$x_1=x_0+\Delta x_1$	según $v$ y $a$
$[t_1,t_2]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_2$	$x_2=x_1+\Delta x_2$	según $v$ y $a$
$[t_2,t_3]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_3$	$x_3=x_2+\Delta x_3$	según $v$ y $a$
$[t_3,t_4]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_4$	$x_4=x_3+\Delta x_4$	según $v$ y $a$
$[t_4,t_5]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_5$	$x_5=x_4+\Delta x_5$	según $v$ y $a$

b) Escribo la información que corresponda, tomando en cuenta el gráfico 1. Realizo los cálculos que sean necesarios.

Pregunta	Cálculo
La posición final de la partícula.	$x_f=x_0+\sum \Delta x_i$ (área neta con signo)
La distancia total recorrida.	$d=\sum \|\Delta x_i\|$
El intervalo donde recorrió mayor distancia.	$\max \|\Delta x_i\|$
La velocidad media a los 6 segundos.	$\bar v=\dfrac{x(6)-x(0)}{6\,\text{s}}$
El tiempo que permaneció en reposo.	$\sum \Delta t$ con $v=0$
El tiempo que el vehículo realizó un retroceso.	$\sum \Delta t$ con $v<0$

Ejemplos resueltos

Un tramo triangular de la gráfica va de $v=0$ en $t=2\,\text{s}$ a $v=6\,\text{m/s}$ en $t=5\,\text{s}$ . Calcular aceleración y distancia.

$a=\frac{6-0}{5-2}=\frac{6}{3}=2\,\text{m/s}^{2}$ .
Área del triángulo: $\Delta x=\frac{1}{2}(5-2)(6)=\frac{1}{2}(3)(6)=9\,\text{m}$ . Respuesta: $a=2\,\text{m/s}^{2}$ , $\Delta x=9\,\text{m}$ .

Tablas (2)

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
$[t_0,t_1]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_1$	$x_1=x_0+\Delta x_1$	según $v$ y $a$
$[t_1,t_2]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_2$	$x_2=x_1+\Delta x_2$	según $v$ y $a$
$[t_2,t_3]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_3$	$x_3=x_2+\Delta x_3$	según $v$ y $a$
$[t_3,t_4]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_4$	$x_4=x_3+\Delta x_4$	según $v$ y $a$
$[t_4,t_5]$	$a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$	$\Delta x_5$	$x_5=x_4+\Delta x_5$	según $v$ y $a$

Dato solicitado	Cálculo
Posición final	$x_f=x_0+\sum\Delta x_i$
Distancia total	$d=\sum\|\Delta x_i\|$
Intervalo de mayor distancia	$\max\|\Delta x_i\|$
Velocidad media a 6 s	$\bar v=\frac{x(6)-x(0)}{6}$
Tiempo en reposo	$\sum\Delta t\|_{v=0}$
Tiempo de retroceso	$\sum\Delta t\|_{v<0}$

Fórmulas y ecuaciones

Aceleración = pendiente de la gráfica $v(t)$

Distancia = área bajo la gráfica $v(t)$

Posición = área neta acumulada con signo

Velocidad media $= \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$

a = $\frac{\Delta v}{\Delta t}$

$\Delta$ x = $\int_{t_i}^{t_{i+1}}$ $v(t)\,dt$

$x(t_{i+1})$ = $x(t_i)$ + $\Delta$ $x_i$

$\bar{v}$ = $\frac{x(6)-x(0)}{6}$

d = $\sum_i$ $|\Delta$ $x_i|$

Glosario (5)

Aceleración: Variación de la velocidad en el tiempo; en la gráfica v-t corresponde a la pendiente de la recta, $a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$.
Área bajo la curva: Región comprendida entre la gráfica de velocidad y el eje del tiempo; representa la distancia o desplazamiento recorrido.
Velocidad media
Retroceso: Movimiento en el sentido negativo del eje, caracterizado por velocidades negativas ($v<0$).
Reposo: Estado en que la velocidad vale cero ($v=0$) y la posición no cambia.

Preguntas para practicar

¿Por qué la distancia total recorrida nunca es menor que el valor absoluto del desplazamiento?

Porque la distancia suma magnitudes sin signo, mientras que el desplazamiento suma áreas con signo: las áreas negativas (retrocesos) se restan en el desplazamiento pero se suman en positivo en la distancia, por lo que siempre $d \ge |x_f - x_0|$.

¿Qué relación existe entre la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo y el tipo de movimiento?

La pendiente es la aceleración: pendiente nula indica movimiento uniforme, pendiente positiva movimiento acelerado y pendiente negativa movimiento retardado; combinada con el signo de la velocidad permite clasificar el movimiento.

Temas y conceptos clave

Cinemática a partir de gráficos velocidad-tiempoAceleración como pendienteDistancia como áreaVelocidad mediaTipos de movimientopendiente = aceleraciónárea bajo la curva = distanciaposición acumuladavelocidad mediareposo (v=0)retroceso (v<0)

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