Potencia de una grúa portuaria y trabajo sobre una rampa

Justifico o refuto que para disminuir el trabajo realizado es necesario hacer más grande la rampa, usando el teorema del trabajo y la variación de la energía cinética.

Teorema del trabajo y energía (con rozamiento):

W_{neto}=\Delta E_c=\frac{1}{2}mv_f^2-\frac{1}{2}mv_i^2

Las fuerzas que actúan son el peso (mg), la normal (N), el rozamiento (f_r=\mu N) y la fuerza que empuja (F). Si el contenedor parte y termina en reposo (la máquina lo eleva lentamente y lo deja en reposo), entonces v_i=v_f=0 y:

W_{neto}=W_F+W_g+W_N+W_{fr}=0

1. El trabajo del peso es W_g=-mgh: depende SOLO de la altura h, no de la longitud de la rampa.
2. El trabajo de la normal es cero: W_N=0 (la fuerza es perpendicular al desplazamiento).
3. El trabajo del rozamiento es W_{fr}=-f_rL=-\mu NL=-\mu mg\cos(\alpha)L, donde L es la longitud de la rampa y \alpha su ángulo.
4. En una rampa recta, h=L\operatorname{sen}(\alpha) y L\cos(\alpha) es la base de la rampa (b). Por lo tanto W_{fr}=-\mu mg b: el rozamiento es menor cuanto MENOS INCLINADA (más larga) es la rampa, es decir cuanto más grande es la base.
5. Despejando el trabajo que debe aplicar la máquina: W_F=mgh+\mu mg b.

Conclusión:

• Refuto la aseveración si se considera un sistema ideal sin rozamiento: en ese caso W_F=mgh es independiente de la longitud de la rampa; cambiar el tamaño de la rampa no modifica el trabajo.
• Justifico la aseveración si existe rozamiento: al hacer la rampa más grande (más larga y menos inclinada) disminuye el componente normal de la fuerza peso, disminuye el rozamiento y, por ende, disminuye el trabajo que debe realizar la máquina para elevar el mismo objeto a la misma altura.

Una grúa portuaria de Guayaquil eleva un contenedor marítimo de m=25 toneladas a una altura de h=30\,\text{m} en un tiempo de t=50\,\text{s}. Determinar la potencia requerida.

1. Convertir masa a kilogramos:

m=25\,\text{t}=25\times1000\,\text{kg}=2{,}5\times10^{4}\,\text{kg}

2. La grúa debe vencer el peso, por lo que el trabajo es:

W=mgh=(2{,}5\times10^{4}\,\text{kg})(9{,}8\,\text{m/s}^2)(30\,\text{m})=7{,}35\times10^{6}\,\text{J}

3. La potencia es el trabajo por unidad de tiempo:

P=\frac{W}{t}=\frac{7{,}35\times10^{6}\,\text{J}}{50\,\text{s}}=1{,}47\times10^{5}\,\text{W}

4. Expresado en kilovatios:

P=\frac{1{,}47\times10^{5}}{1000}=147\,\text{kW}