Calor, capacidad térmica y cambio de fase: pizzas y mocaccinos

Calcular la diferencia de calor que existe entre la pizza mediana y la individual.

Nota: las masas de las pizzas (individual y mediana) y la temperatura de cocción se entregan en la página anterior (pág. 175); en esta página no aparecen, por lo que la solución se deja en forma general con los datos del enunciado anterior.

1. El calor necesario para llevar una masa m de pizza desde la temperatura ambiente hasta la temperatura de cocción es:

Q = m\cdot c\cdot \Delta T

2. Para la pizza mediana: Q_{m} = c\cdot m_{m}\cdot (T_{cocc} - T_{amb}).

3. Para la pizza individual: Q_{i} = c\cdot m_{i}\cdot (T_{cocc} - T_{amb}).

4. Ambas se calientan desde la misma temperatura ambiente hasta la misma temperatura de cocción, por lo que \Delta T es común y se factoriza:

\Delta Q = Q_{m} - Q_{i} = c\,(T_{cocc}-T_{amb})\,(m_{m}-m_{i})

¿Qué calor es necesario para cocinar una pizza mediana, tomando T_{amb} = 23\,^{\circ}\mathrm{C} y T_{cocc} = 230\,^{\circ}\mathrm{C}?

1. Se calcula primero el aumento de temperatura:

\Delta T = T_{cocc} - T_{amb} = 230\,^{\circ}\mathrm{C} - 23\,^{\circ}\mathrm{C} = 207\,^{\circ}\mathrm{C}

2. Sustitución en la fórmula del calor (con c la capacidad calorífica de la masa de pizza y m_{m} la masa de la mediana):

Q_{m} = c\cdot m_{m}\cdot \Delta T = c\cdot m_{m}\cdot 207

3. Si se aproxima c \approx 1\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\cdot^{\circ}\mathrm{C}} (como la del agua):

Q_{m} = 207\,m_{m}\ \mathrm{cal}

Ejemplo ilustrativo (con el dato de la pág. 175): si m_{m} = 400\,\mathrm{g}, entonces Q_{m} = 207 \times 400 = 82\,800\ \mathrm{cal} = 82.8\ \mathrm{kcal}; en julios, 82\,800 \times 4.18 = 346\,104\ \mathrm{J} \approx 3.46 \times 10^{5}\ \mathrm{J}.

¿Qué potencia necesita el horno para cocinar una pizza familiar si el tiempo de cocción es de 15 minutos?

1. El calor para la pizza familiar:

Q_{f} = c\cdot m_{f}\cdot \Delta T

2. Se convierte el tiempo a segundos:

t = 15\ \mathrm{min} \times 60\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{min}} = 900\ \mathrm{s}

3. La potencia es la energía entregada por unidad de tiempo:

P = \frac{Q_{f}}{t} = \frac{c\,m_{f}\,\Delta T}{900\ \mathrm{s}}

4. Si Q_{f} se expresa en calorías, se convierte a julios con 1\ \mathrm{cal} = 4.18\ \mathrm{J}:

P = \frac{4.18\cdot Q_{f}}{900\ \mathrm{s}} \approx 4.64 \times 10^{-3}\,Q_{f}\ \mathrm{W}

Ejemplo ilustrativo: si m_{f} = 600\,\mathrm{g}, c = 1\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\cdot^{\circ}\mathrm{C}} y \Delta T = 207\,^{\circ}\mathrm{C}, entonces Q_{f} = 124\,200\ \mathrm{cal} = 519\,156\ \mathrm{J} y P = \frac{519\,156}{900} \approx 577\ \mathrm{W}.

El empleado afirma que con 320 g de hielo la temperatura del mocaccino baja a la mitad. ¿Es correcto? ¿Es posible echar esa cantidad de hielo al envase?

1. Datos: m_{mocaccino} = 330\ \mathrm{g}, c = 1\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}\cdot^{\circ}\mathrm{C}}, m_{hielo} = 320\ \mathrm{g}, calor latente de fusión del hielo L = 80\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}}. Sea T la temperatura inicial del mocaccino caliente y \theta la temperatura final de equilibrio.

2. Calor que entrega el mocaccino al enfriarse hasta \theta:

Q_{pierde} = m_{mocaccino}\cdot c\,(T-\theta) = 330\,(T-\theta)

3. Calor que absorbe el hielo: primero se funde a 0\,^{\circ}\mathrm{C} y luego el agua se calienta hasta \theta:

Q_{gana} = m_{hielo}\,L + m_{hielo}\,c\,(\theta - 0) = 320 \times 80 + 320\,\theta = 25\,600 + 320\,\theta

4. Principio de conservación de la energía (calor perdido = calor ganado):

330\,(T-\theta) = 25\,600 + 320\,\theta

5. Despejando la temperatura final:

330\,T - 330\,\theta = 25\,600 + 320\,\theta \Rightarrow 330\,T - 25\,600 = 650\,\theta

\theta = \frac{330\,T - 25\,600}{650} \approx 0.508\,T - 39.4

6. ¿Se cumple \theta = \frac{T}{2}? Sustituyendo:

\frac{T}{2} = \frac{330\,T - 25\,600}{650} \Rightarrow 325\,T = 330\,T - 25\,600 \Rightarrow 5\,T = 25\,600 \Rightarrow T = 5120\,^{\circ}\mathrm{C}

7. Un mocaccino caliente no puede estar a 5120\,^{\circ}\mathrm{C}: la igualdad \theta = T/2 es imposible. Con un valor realista (T \approx 90\,^{\circ}\mathrm{C}):

\theta = \frac{330(90) - 25\,600}{650} = \frac{29\,700-25\,600}{650} = \frac{4100}{650} \approx 6.3\,^{\circ}\mathrm{C}

que es muy inferior a T/2 = 45\,^{\circ}\mathrm{C}: 320 g de hielo enfría demasiado el producto (y hasta podría congelarlo).

8. Contraria comprobación: si se desea bajar de 90\,^{\circ}\mathrm{C} a 5\,^{\circ}\mathrm{C}, la masa de hielo requerida es

m_{hielo} = \frac{m_{mocaccino}\,(T-\theta)}{L+\theta} = \frac{330(90-5)}{80+5} = \frac{330 \times 85}{85} = 330\ \mathrm{g}

9. Capacidad del envase: 330\ \mathrm{g} (mocaccino) + 320\ \mathrm{g} (hielo) = 650\ \mathrm{g}, muy por encima de los 330\ \mathrm{g} que admite el recipiente.

¿Qué fases son necesarias para pasar el hielo a su estado líquido?

1. El hielo (sólido) se encuentra a 0\,^{\circ}\mathrm{C}: mientras está a esa temperatura y aún es sólido, absorbe calor sin cambiar de temperatura (el calor va a romper la estructura cristalina, no a subir la temperatura).

2. Cambio de fase (fusión): el hielo a 0\,^{\circ}\mathrm{C} se transforma en agua líquida a 0\,^{\circ}\mathrm{C} absorbiendo el calor latente de fusión L = 80\,\frac{\mathrm{cal}}{\mathrm{g}} (es decir, Q = m\cdot L).

3. Calentamiento del agua líquida: una vez todo el hielo se ha fundido, el agua a 0\,^{\circ}\mathrm{C} absorbe calor y su temperatura sube hasta la temperatura final de equilibrio del sistema (Q = m\,c\,\Delta\theta).