Modelo matemático de una onda: tipo, gráfica, sentido de propagación, frecuencia y longitud

1. La ecuación de una onda general es y = A\,\text{sen}(kx \pm \omega t + \varphi), donde y es el desplazamiento de un punto respecto de su posición de equilibrio.
2. Aquí x representa la dirección de propagación y y es la función del desplazamiento. La comparación se hace entre la dirección de propagación (x) y la dirección del desplazamiento (y).
3. Como y \perp x (el desplazamiento es perpendicular a la dirección de propagación), el modelo corresponde a una onda transversal.
4. Matemáticamente la onda se dibuja como una curva senoidal que se desplaza, cuyos puntos suben y bajan sin que el medio se desplace en la dirección x.

Nota: en la realidad un instrumento de afinación (diapasón) produce una onda longitudinal en el aire; el modelo escrito, al tomar y perpendicular a x, representa la componente transversal del desplazamiento (por ejemplo, la vibración de una cuerda o la onda registrada en un eje vertical).

De la ecuación se leen los parámetros:

1. Amplitud: el coeficiente del seno es A = 7\ \text{cm}; por tanto los crestos alcanzan y = +7\ \text{cm} y los valles y = -7\ \text{cm}.
2. Constante de propagación (número de onda): k = n (en ext{rad/m} si x está en metros).
3. Fase inicial: \varphi = \dfrac{\pi}{4}\ \text{rad} (es decir, 45^\circ).
4. Longitud de onda: \lambda = \dfrac{2\pi}{n}.
5. Eje de equilibrio: la línea y = 0, alrededor de la cual oscila el medio.
6. Cresta, valle y ciclo completo: la distancia entre dos crestas consecutivas es \lambda.

Comprobación del desplazamiento inicial (en x = 0):

y(0) = 7\,\text{sen}\left(0 + \frac{\pi}{4}\right) = 7\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 7\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 4.95\ \text{cm}

xychart-beta
    title "Onda y(x) = 7 sen(kx + pi/4) en centimetros"
    x-axis "x (en unidades de lambda)" [0, 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1]
    y-axis "y (cm)" -8 to 8
    line [4.95, 7, 4.95, 0, -4.95, -7, -4.95, 0, 4.95]

Elementos que deben aparecer en el dibujo: eje de abscisas x, eje de ordenadas y, eje de equilibrio (y = 0), amplitud A = 7\ \text{cm}, crestos y valles, longitud de onda \lambda, fase inicial \pi/4 y la flecha del sentido de propagación.

1. La forma general es y = A\,\text{sen}(kx \pm \omega t + \varphi).
2. Si el término temporal entra con signo negativo, (kx - \omega t), la onda avanza hacia +x (derecha).
3. Si entra con signo positivo, (kx + \omega t), la onda avanza hacia -x (izquierda).
4. El argumento escrito en el modelo es \left(nx + \dfrac{\pi}{4}\right): el término espacial nx aparece con signo positivo y la fase inicial es +\dfrac{\pi}{4}.
5. Por lo tanto la onda se propaga hacia el sentido negativo del eje x (hacia la izquierda), y en el instante inicial el punto x = 0 ya se encuentra desplazado y = 7\,\text{sen}(\pi/4) \approx 4.95\ \text{cm}, como corresponde a un desfase inicial de \pi/4.

1. De la ecuación, la amplitud es A = 7\ \text{cm} y el número de onda es k = n.
2. Se usa la relación k = \dfrac{2\pi}{\lambda}. Sustituyendo k = n:

n = \frac{2\pi}{\lambda} \quad \Longrightarrow \quad \boxed{\lambda = \frac{2\pi}{n}\ \text{(m)}}

3. La frecuencia se relaciona con la longitud y la velocidad de propagación v mediante v = \lambda f.
4. Sustituyendo \lambda = \dfrac{2\pi}{n}:

f = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{\frac{2\pi}{n}} = \frac{nv}{2\pi}\ \text{(Hz)}

5. Si el modelo incluye el término -\omega t, entonces \omega = 2\pi f y directamente f = \dfrac{\omega}{2\pi}.
6. Ejemplo numérico: si n = 2\pi\ \text{rad/m}, entonces \lambda = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1\ \text{m}; y con una velocidad típica del sonido en el aire v = 340\ \text{m/s}, f = \dfrac{340}{1} = 340\ \text{Hz}.