Una caja se desplaza 20 \, \text{m} horizontalmente bajo la acción de una fuerza de 40 \, \text{N}. Se pide el trabajo realizado por la fuerza en dos casos.

Fórmula general del trabajo:

W = F \cdot d \cdot \cos \varphi

Determinar la potencia necesaria de una grúa para levantar un coche de 2{,}5 toneladas a 30 \, \text{m} de altura en 2 minutos.

1. Convertir masa a kilogramos: m = 2{,}5 \, \text{t} = 2{,}5 \times 1000 = 2500 \, \text{kg}.
2. Convertir tiempo a segundos: t = 2 \, \text{min} = 2 \times 60 = 120 \, \text{s}.
3. El trabajo para levantar el coche (a velocidad constante, F = Peso = mg):

W = mgh = 2500 \times 9{,}8 \times 30 = 735\,000 \, \text{J} = 735 \, \text{kJ}

4. Potencia: P = \frac{W}{t}:

P = \frac{735\,000}{120} = 6125 \, \text{W} \approx 6{,}1 \, \text{kW}

Con g = 10 \, \text{m/s}^2: W = 2500 \times 10 \times 30 = 750\,000 \, \text{J} y P = \frac{750\,000}{120} = 6250 \, \text{W} = 6{,}25 \, \text{kW}.

Un bloque de 5 \, \text{kg} parte del reposo en una rampa de 5 \, \text{m} de altura, pasa por un tramo rugoso de 4 \, \text{m} y choca contra un resorte de k = 2000 \, \text{N/m} deformándolo 50 \, \text{cm}. Se pide el coeficiente de rozamiento \mu del tramo de 4 \, \text{m} (con g = 10 \, \text{m/s}^2).

Aplicamos la conservación de la energía: la energía inicial (peso) se reparte entre el trabajo disipado por el rozamiento y la energía potencial elástica almacenada en el resorte.

1. Energía potencial inicial del bloque:

E_p = mgh = 5 \times 10 \times 5 = 250 \, \text{J}

2. Energía almacenada en el resorte (con x = 50 \, \text{cm} = 0{,}5 \, \text{m}):

E_{el} = \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2} \times 2000 \times (0{,}5)^2 = 1000 \times 0{,}25 = 250 \, \text{J}

3. Trabajo de rozamiento sobre el tramo de 4 \, \text{m} (donde N = mg):

W_f = \mu mgd = \mu \times 5 \times 10 \times 4 = 200\,\mu \, \text{J}

4. Ecuación de conservación de energía:

mgh = \mu mgd + \frac{1}{2}kx^2 \quad \Longrightarrow \quad 250 = 200\,\mu + 250

5. Despeje: 200\,\mu = 250 - 250 = 0, por lo tanto \mu = 0.

Comentario: con los datos entregados, la energía total disponible (250 \, \text{J}) es exactamente igual a la que absorbe el resorte (250 \, \text{J}), de modo que el trampo rugoso no disipa energía y \mu = 0. Esto sugiere un posible error tipográfico en el libro: para que el rozamiento sea distinto de cero la deformación del resorte debería ser menor (por ejemplo, con x = 40 \, \text{cm}, E_{el} = 160 \, \text{J} y \mu = \frac{250-160}{200} = 0{,}45), o bien el bloque aún posee una velocidad residual V_f al comprimir el resorte, lo que haría el problema indeterminado sin ese dato.