Página 206 — Apertura del Tema 16: Leyes de Kepler

Esta página no contiene ejercicios de cálculo numerados; es la portada de apertura del tema. Incluye un diagrama de la órbita de un planeta, los criterios de evaluación, el objetivo general y dos preguntas de saberes previos que se responden a continuación.

Diagrama de la órbita elíptica

La imagen muestra una elipse (la órbita de un planeta) con los elementos geométricos estándar:

• a: semieje mayor (distancia del centro de la elipse a su vértice).
• b: semieje menor.
• c: distancia entre el centro de la elipse y el foco (distancia focal).
• El Sol está situado en uno de los dos focos de la elipse, lo que ilustra la primera ley de Kepler.
• r: radio vector, es decir, la distancia instantánea del planeta al Sol.
• \theta: ángulo que forma el radio vector con la línea de los apsis (semieje mayor), medido desde el foco.
• La flecha roja indica el sentido de revolución del planeta (antihorario en el diagrama).

En la ecuación polar de una cónica con origen en el foco:

r = \frac{a(1-e^{2})}{1 + e\cos\theta}

y la relación entre los semiejes y la distancia focal es

c^{2} = a^{2} - b^{2}, \qquad e = \frac{c}{a}

donde e es la excentricidad de la órbita (0 \le e < 1 para una elipse). Para la Tierra, e \approx 0{,}0167.

Criterio de evaluación CE.CN.F.5.17

El criterio exige argumentar:

1. Las tres leyes de Kepler.
2. La ley de gravitación universal de Newton.
3. Su origen en las observaciones de Tycho Brahe al planeta Marte y en el concepto de campo gravitacional.
4. Las semejanzas y diferencias entre el movimiento de la Luna y el de los satélites artificiales, usando simuladores.

Resumen de las tres leyes de Kepler (contexto del tema)

1. Primera ley (ley de las órbitas): los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol en uno de sus focos.
2. Segunda ley (ley de las áreas): el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. Matemáticamente,

\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^{2}\, \frac{d\theta}{dt} = \text{constante}

3. Tercera ley (ley de los períodos): el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor:

T^{2} = k\, a^{3}

Relación con la ley de Newton

Newton dedujo las leyes de Kepler a partir de su ley de gravitación universal:

F = G\,\frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}

En este caso, la fuerza es central y dirigida hacia el Sol (un foco), lo que explica que la órbita sea una cónica con foco en el astro central y que el momento angular se conserve, garantizando la ley de áreas.

Saberes previos — Preguntas de la página

Los planetas no describen órbitas circulares perfectas ni están a distancia constante del Sol. Se mueven en órbitas elípticas ligeramente excéntricas (en la práctica casi circulares para la Tierra, con e \approx 0{,}0167), y el Sol ocupa un foco de la elipse, no el centro. Como consecuencia, la distancia Sol–planeta varía a lo largo de la órbita y la rapidez orbital también cambia: el planeta se mueve más deprisa cuando está más cerca del Sol (perihelio) y más despacio cuando está más lejos (afelio), de modo que barre áreas iguales en tiempos iguales.

• Primera ley: se puede imaginar una cuerda de larguera 2a unida por sus extremos a dos clavos (los focos); si se tensa con un lápiz, la trayectoria que se traza es una elipse. El Sol ocupa uno de esos clavos.
• Segunda ley: como la ley de conservación del momento angular, L = m v_{\perp} r = \text{cte}; al acercarse al Sol, el radio r disminuye, por lo que la velocidad v debe aumentar para conservar L, igual que una patinadora que gira con los brazos pegados al cuerpo y acelera su rotación.
• Tercera ley: como una cuerda vibrante o como la comparación de relojes cósmicos: los planetas más alejados del Sol tardan muchísimo más en dar una vuelta (porque su órbita es más grande) y su "lento" giro compensa exactamente la mayor distancia según T^{2} \propto a^{3}. Un ejemplo concreto: si un planeta está 4 veces más lejos del Sol que otro, su período orbital es \sqrt{4^{3}} = \sqrt{64} = 8 veces mayor.