Ley de gravitación universal y mareas: verdadero o falso

Enunciado: La fuerza que la Luna ejerce sobre una porción de masa del océano en la superficie de la Tierra es la misma, tanto en su punto más cercano a la Luna como en su punto más alejado de esta.

1. La ley de la gravitación universal de Newton establece que la fuerza entre dos masas depende de la distancia entre ellas: F = G\,\frac{m_1\, m_2}{d^{2}}
2. Consideremos una masa de agua m en el punto más cercano (periwígeo del océano): allí la distancia al centro de la Luna es d_{\text{cerc}} = d - R_{\text{T}}, con d \approx 3{,}844 \times 10^{8} \,\text{m} y R_{\text{T}} \approx 6{,}371 \times 10^{6} \,\text{m}. Entonces: F_{\text{cerc}} = G\,\frac{M_{\text{L}}\,m}{\left(d - R_{\text{T}}\right)^{2}}
3. En el punto más alejado la distancia es d_{\text{alej}} = d + R_{\text{T}}, de modo que: F_{\text{alej}} = G\,\frac{M_{\text{L}}\,m}{\left(d + R_{\text{T}}\right)^{2}}
4. Como (d - R_{\text{T}})^{2} < (d + R_{\text{T}})^{2}, se sigue que F_{\text{cerc}} > F_{\text{alej}}.
5. Cuantitativamente, el exceso de fuerza en el punto cercano respecto al lejano es: \frac{F_{\text{cerc}} - F_{\text{alej}}}{F_{\text{cerc}}} \approx \frac{2R_{\text{T}}}{d} = \frac{2(6{,}371\times10^{6})}{3{,}844\times10^{8}} \approx 0{,}033 \quad (\approx 3{,}3\,\%) Es decir, la fuerza cercana supera a la lejana en cerca de un 3\%: la diferencia es pequeña, pero no es nula, y es precisamente la que origina las mareas.

Enunciado: Las mareas se asocian con la atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna.

1. Por la tercera ley de Newton, la fuerza de la Tierra sobre la Luna y la de la Luna sobre la Tierra son iguales en módulo y opuestas en dirección (F_{\text{T}\to\text{L}} = -F_{\text{L}\to\text{T}}); por lo tanto, la atracción Tierra→Luna es un fenómeno de acción y reacción mutua.
2. Sin embargo, el fenómeno de las mareas en los océanos terrestres se debe a que la Luna (y en menor medida el Sol) atrae de modo diferente a los distintos puntos de la superficie terrestre.
3. La fuerza de marea es la diferencia entre la atracción de la Luna sobre una porción de agua y la atracción que la misma Luna ejerce sobre el centro de la Tierra: \Delta F \approx F_{\text{cerc}} - F_{\text{centro}} = G\,M_{\text{L}}\,m\left[\frac{1}{\left(d-R_{\text{T}}\right)^{2}} - \frac{1}{d^{2}}\right] \approx G\,\frac{2\,M_{\text{L}}\,m\,R_{\text{T}}}{d^{3}}
4. Esta diferencia genera un efecto de marea que deforma la bolsa acuática, produciendo dos resaltos (uno hacia la Luna y otro en el lado opuesto) y, por rotación terrestre, dos mareas diarias en casi todos los litorales.
5. La atracción que la Tierra ejerce sobre la Luna mantiene a esta en su órbita (segunda ley de Kepler, ley de áreas); no explica el subida y bajada del nivel del mar, que es un problema de atracción diferencial de la Luna y el Sol sobre la Tierra.

Enunciado: La Tierra atrae a la Luna con la misma fuerza que la ejercida por el Sol sobre la Tierra.

1. La atracción Tierra–Luna la da la ley de Newton con M_{\text{T}} = 5{,}972\times10^{24} \,\text{kg}, M_{\text{L}} = 7{,}342\times10^{22} \,\text{kg} y d_{\text{TL}} = 3{,}844\times10^{8} \,\text{m}: F_{\text{TL}} = G\,\frac{M_{\text{T}}\,M_{\text{L}}}{d_{\text{TL}}^{2}} = \frac{(6{,}674\times10^{-11})(5{,}972\times10^{24})(7{,}342\times10^{22})}{(3{,}844\times10^{8})^{2}} F_{\text{TL}} \approx \frac{2{,}91\times10^{37}}{1{,}478\times10^{17}} \approx 1{,}97\times10^{20} \,\text{N}
2. La atracción Sol–Tierra usa M_{\odot} = 1{,}989\times10^{30} \,\text{kg} y d_{\odot\text{T}} = 1{,}496\times10^{11} \,\text{m}: F_{\odot\text{T}} = G\,\frac{M_{\odot}\,M_{\text{T}}}{d_{\odot\text{T}}^{2}} = \frac{(6{,}674\times10^{-11})(1{,}989\times10^{30})(5{,}972\times10^{24})}{(1{,}496\times10^{11})^{2}} F_{\odot\text{T}} \approx \frac{7{,}93\times10^{44}}{2{,}238\times10^{22}} \approx 3{,}54\times10^{22} \,\text{N}
3. Comparando: \frac{F_{\odot\text{T}}}{F_{\text{TL}}} \approx \frac{3{,}54\times10^{22}}{1{,}97\times10^{20}} \approx 180 La fuerza del Sol sobre la Tierra es unas 180 veces mayor.
4. Lo que sí son iguales en módulo son F_{\text{T}\to\text{L}} y F_{\text{L}\to\text{T}} (par acción–reacción); eso no implica igualdad con la fuerza Sol–Tierra, ya que son pares de cuerpos distintos con masas y distancias distintas.

Cuadro-resumen de las respuestas

Observación: la única igualdad correcta implicada en la actividad es F_{\text{Tierra}\to\text{Luna}} = F_{\text{Luna}\to\text{Tierra}} (tercera ley de Newton).