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Velocidad de escape: explicación, demostración y datos terrestres

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) Velocimínima para no ser retenido por la gravedad. b) $v=\sqrt{2GM/r}$ , por $E_k=U_g$ (el factor 2 proviene de la energía, no de la fuerza centrípeta). c) $M=5{,}972\times10^{24}$ kg, $R=6{,}371\times10^{6}$ m, $v_{esc}\approx11{,}2$ km/s.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 211

Fisica 2° · 2024

Ejercicio a

Explico con mis palabras: ¿en qué consiste la velocidad de escape?

La velocidad de escape es la velocimínima con la que un cuerpo debe ser lanzado desde la superficie de un planeta (u otro astro) para alejarse de él y no regresar nunca, es decir, para alcanzar el infinito sin que la gravedad lo vuelva a atrapar.

Todo cuerpo lanzado hacia arriba pierde velocidad porque la gravedad actúa en sentido contrario a su movimiento y hace trabajo negativo sobre él.
Si la velocidad inicial es suficientemente grande, la energía cinética inicial es mayor que el trabajo que la gravedad puede realizar en todo el recorrido: el cuerpo se detiene en el infinito y no cae.
Por eso la velocidad de escape depende solo de la masa $M$ del planeta y del radio $r$ desde el que se lanza, no de la masa del objeto lanzado.
Para la Tierra este valor es aproximadamente $v_{\text{esc}} \approx 11{,}2 \ \text{km/s} = 11\,200 \ \text{m/s}$ . Un cohete que alcance esa velocidad desde la superficie puede salir del sistema Tierra-Luna y viajar al espacio profundo.

Ejercicio b

Demostración de la ecuación de la velocidad de escape $v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ (mediante la tercera ley de Kepler y la fuerza gravitatoria).

Nota de coherencia física: si se iguala únicamente la fuerza centrípeta con la fuerza gravitatoria se obtiene la velocidad orbital, no la de escape; por eso el factor 2 aparece cuando se exige que el cuerpo alcance el infinito con energía suficiente. A continuación se hace la demostración completa.

Fuerza gravitatoria y fuerza centrípeta. Para un cuerpo de masa $m$ a distancia $r$ de un planeta de masa $M$ :

$F_g = \frac{G M m}{r^{2}} \qquad F_c = \frac{m v^{2}}{r}$

Igualándolas (caso de órbita circular, como el de los satélites que describen las leyes de Kepler):

$\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r} \implies v^{2} = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
Relación con la tercera ley de Kepler. El periodo orbital $T$ de un satélite circular obedece a

$T^{2} = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{GM}$

Como la órbita tiene longitud $2\pi r$ , su velocidad es $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ , de donde $T = \dfrac{2\pi r}{v}$ . Sustituyendo:

$\left(\frac{2\pi r}{v}\right)^{2} = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{GM} \implies \frac{4\pi^{2} r^{2}}{v^{2}} = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{GM}$

Simplificando $4\pi^{2} r^{2}$ en ambos miembros:

$\frac{1}{v^{2}} = \frac{r}{GM} \implies v^{2} = \frac{GM}{r}$

Se confirma que el resultado de la tercera ley de Kepler es la velocidad orbital $v_{\text{orb}} = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ .
Condición de escape (aporte de energía). Para escapar, el cuerpo debe alcanzar el infinito con velocidad $\geq 0$ . Por la conservación de la energía mecánica:

$E_{\text{inicial}} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{GMm}{r} = E_{\text{final}} = 0 + 0$

(En el infinito, $r \to \infty$ , la energía potencial gravitatoria tiende a cero.)
Resolución. Despejando $v^{2}$ :

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{GMm}{r}$

Se cancela la masa $m$ del cuerpo lanzado (la velocidad de escape no depende del objeto):

$v^{2} = \frac{2GM}{r} \implies \boxed{v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}}$
Verificación. Se observa que $v_{\text{esc}} = \sqrt{2}\, v_{\text{orb}} \approx 1{,}414 \times 7{,}9 \ \text{km/s} \approx 11{,}2 \ \text{km/s}$ , valor reconocido para la Tierra. ✔

Ejercicio c

Investigo: ¿cuál es el valor de la masa terrestre y del radio terrestre?

Valores aceptados (SI):

Masa de la Tierra: $M_{\oplus} = 5{,}972 \times 10^{24} \ \text{kg}$ (aprox. $5{,}97 \times 10^{24} \ \text{kg}$ ).
Radio terrestre (promedio): $R_{\oplus} = 6{,}371 \times 10^{6} \ \text{m} = 6\,371 \ \text{km}$ .
Constante gravitatoria: $G = 6{,}674 \times 10^{-11} \ \dfrac{\text{N} \cdot \text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$ .

Cálculo de la velocidad de escape terrestre:

Sustitución:

$v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{R_{\oplus}}} = \sqrt{\frac{2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 5{,}972 \times 10^{24}}{6{,}371 \times 10^{6}}}$
Numerador: $2 \times 6{,}674 \times 10^{-11} \times 5{,}972 \times 10^{24} = 7{,}972 \times 10^{14} \ \text{N} \cdot \text{m}^{2}/\text{kg}$ .
División: $\dfrac{7{,}972 \times 10^{14}}{6{,}371 \times 10^{6}} = 1{,}251 \times 10^{8} \ \text{m}^{2}/\text{s}^{2}$ .
Raíz cuadrada: $v_{\text{esc}} = \sqrt{1{,}251 \times 10^{8}} = 1.119 \times 10^{4} \ \text{m/s} \approx 11{,}2 \ \text{km/s}$ .

Respuesta

$M_{\oplus} = 5{,}972 \times 10^{24} \ \text{kg}$ y $R_{\oplus} = 6{,}371 \times 10^{6} \ \text{m}$ ; con estos datos, $v_{\text{esc}} \approx 11{,}2 \ \text{km/s}$ .

Contenido de la página

Velocidad de escape (actividades)

a) Explico con mis palabras: ¿en qué consiste la velocidad de escape?

Es la velocidad mínima con la que debe ser lanzado un cuerpo desde la superficie de un planeta para que, tras perder velocidad por la acción de la gravedad, se aleje hasta el infinito sin regresar. Depende solo de la masa $M$ del planeta y de la distancia $r$ de lanzamiento, no de la masa del cuerpo lanzado.

b) Demuestro $v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ usando la tercera ley de Kepler, la fuerza gravitatoria y considerando que la fuerza centrípeta equivale a la fuerza gravitacional.

De $F_c = F_g$ : $\dfrac{mv^{2}}{r} = \dfrac{GMm}{r^{2}} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{GM}{r}}$ (velocidad orbital).
De la tercera ley de Kepler $T^{2} = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$ y $v = \dfrac{2\pi r}{T}$ se llega al mismo resultado.
Para escapar se exige alcanzar el infinito con energía nula: $\dfrac{1}{2}mv^{2} - \dfrac{GMm}{r} = 0$ , de donde $v = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$ .

c) Investigo: masa y radio terrestre. $M_{\oplus} = 5{,}972\times10^{24}$ kg; $R_{\oplus} = 6{,}371\times10^{6}$ m. Con ello $v_{esc} \approx 11{,}2$ km/s.

Ejemplos resueltos

Calcular la velocidad de escape en la superficie terrestre usando $M_{\oplus}=5{,}972\times10^{24}$ kg, $R_{\oplus}=6{,}371\times10^{6}$ m y $G=6{,}674\times10^{-11}$ N·m²/kg².

Sustitución: $v=\sqrt{\frac{2(6{,}674\times10^{-11})(5{,}972\times10^{24})}{6{,}371\times10^{6}}}$ . 2. Numerador: $7{,}972\times10^{14}$ . 3. Cociente: $1{,}251\times10^{8}\ \text{m}^2/\text{s}^2$ . 4. Raíz: $v\approx1{,}119\times10^{4}\ \text{m/s}=11{,}2\ \text{km/s}$ .

Tabla

Constante	Símbolo	Valor (SI)
Constante gravitatoria	$G$	$6{,}674\times10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$
Masa terrestre	$M_{\oplus}$	$5{,}972\times10^{24}\ \text{kg}$
Radio terrestre	$R_{\oplus}$	$6{,}371\times10^{6}\ \text{m}$
Velocidad de escape terrestre	$v_{esc}$	$1{,}119\times10^{4}\ \text{m/s}\ (11{,}2\ \text{km/s})$

Diagrama

flowchart TD
  A[Objeto de masa m a distancia r] --> B{Fuerza gravitatoria}
  B --> C[F_g = G M m / r^2]
  A --> D{Movimiento circular}
  D --> E[F_c = m v^2 / r]
  C --> F[Igualo F_c = F_g]
  E --> F
  F --> G[v orbital = sqrt(G M / r)]
  G --> H{Condicion de escape: E_inicial = 0}
  H --> I[½ m v^2 = G M m / r]
  I --> J[v_esc = sqrt(2 G M / r)]

Fórmulas y ecuaciones

$v_{esc}$ = $\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

$v_{orb}$ = $\sqrt{\dfrac{GM}{r}}$

$T^{2}$ = $\dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$

$F_g$ = $\frac{GMm}{r^{2}}$

$F_c$ = $\frac{mv^{2}}{r}$

$T^{2}$ = $\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}$

v = $\sqrt{\frac{GM}{r}}$

$\frac{1}{2}$ $mv^{2}$ - $\frac{GMm}{r}$ = 0

v = $\sqrt{\frac{2GM}{r}}$

Glosario (5)

Velocidad de escape: Velocimínima con la que un cuerpo debe ser lanzado desde la superficie de un cuerpo celeste para que nunca regrese a él.
Fuerza centrípeta: Fuerza resultante dirigida hacia el centro de una trayectoria circular, responsable de curvar la trayectoria: F = mv²/r.
Energía potencial gravitatoria: Energía debida a la posición de un cuerpo en un campo gravitatorio: U = −GMm/r.
Tercera ley de Kepler: El cuadrado del periodo orbital es proporcional al cubo del radio de la órbita: T² = 4π²r³/(GM).
Constante gravitatoria G: Constante universal de la gravitación, G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²/kg².

Preguntas para practicar

Explico con mis palabras: ¿en qué consiste la velocidad de escape?

Es la velocimínima que debe tener un cuerpo lanzado desde la superficie de un planeta para que la gravedad no lo retorne nunca; depende de la masa y el radio del planeta, no del cuerpo lanzado (11,2 km/s en la Tierra).

Investigo: ¿cuál es el valor de la masa terrestre y del radio terrestre?

Masa de la Tierra: 5,972×10²⁴ kg. Radio terrestre promedio: 6,371×10⁶ m (6 371 km).

Temas y conceptos clave

Velocidad de escapeLeyes de KeplerFuerza centrípeta y fuerza gravitatoriaConservación de la energíaConstantes terrestresvelocidad de escapevelocidad orbitalenergia potencial gravitatoriatrabajo de la fuerza de gravedadtercera ley de Keplermasa y radio terrestreconstante gravitatoria G