1. El plano cartesiano se divide en cuatro cuadrantes según los signos de x y y:
2. I:(+,+), II:(-,+), III:(-,-), IV:(+,-).
3. El cuarto cuadrante exige entonces x>0 y y<0 (derecha y abajo del origen).
4. En la figura, la posición A es la única que satisface ambos signos: está a la derecha del eje y y por debajo del eje x.

1. Si \vec{v} y \vec{a} comparten dirección y sentido, el ángulo entre ambos vectores es \theta = 0\^\circ y por tanto
2. \vec{a}\cdot\vec{v} = |\vec{a}||\vec{v}|\cos 0\^\circ = a\v > 0.
3. Como la rapidez cambia según \big(\frac{dv}{dt}\big) = \big(\vec{a}\cdot\vec{v}\big)/v, con producto punto positivo la rapidez aumenta: el carrito acelera siguiendo su trayectoria.
4. Esa condición se cumple en la posición B.

1. Ahora \theta = 180\^\circ, de modo que
2. \vec{a}\cdot\vec{v} = |\vec{a}||\vec{v}|\cos 180\^\circ = -a\v < 0.
3. El producto punto negativo implica \big(\frac{dv}{dt}\big) < 0: la rapidez disminuye, es decir, el carrito frena.
4. En la trayectoria esto ocurre en la posición C.

1. Perpendicularidad significa \theta = 90\^\circ, y por ende
2. \vec{a}\cdot\vec{v} = |\vec{a}||\vec{v}|\cos 90\^\circ = 0.
3. Con producto punto nulo la rapidez no varía: \big(\frac{dv}{dt}\big) = 0. Toda la aceleración es de componente normal (centrípeta), dirigida hacia el centro de curvatura y perpendicular al vector velocidad.
4. El carrito mantiene su rapidez constante en la posición D (también se cumple en A, donde la aceleración es únicamente normal).

1. En A el carrito está en el cuarto cuadrante: \vec{r}_A = x\hat{i} - y\hat{j} con x,y>0.
2. La aceleración total tiene dos componentes: la tangencial \vec{a}_t (paralela a \vec{v}) y la normal \vec{a}_n (perpendicular a \vec{v}, dirigida hacia el centro de curvatura):
3. \vec{a} = \vec{a}_t + \vec{a}_n = \big(\frac{dv}{dt}\big)\hat{t} + \big(\frac{v^{2}}{R}\big)\hat{n}.
4. En A, según la figura, la aceleración es puramente normal y apunta hacia el centro de curvatura, que se localiza hacia arriba y a la izquierda del punto A:
5. componente x: negativa (-a_x\hat{i}); componente y: positiva (+a_x\hat{j}).
6. Por lo tanto: \vec{a}_A = -a_x\hat{i} + a_x\hat{j}.

1. El vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria y tiene el módulo de la rapidez: \vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}.
2. En A, el carrito avanza hacia arriba y hacia la derecha (sentido de avance sobre la curva del cuarto cuadrante).
3. Componente x positiva (+V_x\hat{i}) y componente y positiva (+V_x\hat{j}).
4. Al ser perpendicular a \vec{a} = -a_x\hat{i} + a_x\hat{j}, la verificación es:
5. \vec{v}\cdot\vec{a} = (V_x)(-a_x) + (V_x)(a_x) = -V_xa_x + V_xa_x = 0 ✔ (confirma la perpendicularidad).

Resumen de respuestas: 2.a → A · 2.b → B · 2.c → C · 2.d → D · 2.e → \vec{a} = -a_x\hat{i} + a_x\hat{j} · 2.f → \vec{v} = V_x\hat{i} + V_x\hat{j}.