Cuadrantes del vector desplazamiento y variación de velocidad (aceleración media)

Enunciado: Indico en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y lo dibujo.

1. El vector desplazamiento es la diferencia de los vectores posición: \overrightarrow{\Delta r}=\overrightarrow{r_{2}}-\overrightarrow{r_{1}}=(x_{2}-x_{1},\;y_{2}-y_{1})=(\Delta x,\;\Delta y).
2. Determino el signo de cada componente: \Delta x=x_{2}-x_{1} y \Delta y=y_{2}-y_{1}.
3. Relaciono los signos con los cuadrantes del plano cartesiano:
   • \Delta x>0 y \Delta y>0 → I cuadrante (+,+)
   • \Delta x<0 y \Delta y>0 → II cuadrante (−,+)
   • \Delta x<0 y \Delta y<0 → III cuadrante (−,−)
   • \Delta x>0 y \Delta y<0 → IV cuadrante (+,−)
4. Justificación (ejemplo): si el cuerpo parte de P_{1}(2\;\text{m},\;3\;\text{m}) y llega a P_{2}(-1\;\text{m},\;5\;\text{m}), entonces \Delta x=-1-2=-3\;\text{m} (negativa) y \Delta y=5-3=2\;\text{m} (positiva): el vector queda en el II cuadrante.
5. Dibujo: coloco los ejes x y y, marco P_{1} y P_{2}, y trazo la flecha desde P_{1} hasta P_{2}; su punta apunta hacia arriba y a la izquierda, confirmando el II cuadrante.

Enunciado: Observo la figura y, a partir de la definición de velocidad y aceleración, elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidades que permitan obtener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el II y en el IV cuadrante.

1. Defino velocidad media: \overrightarrow{v}=\dfrac{\overrightarrow{\Delta r}}{\Delta t}. En P_{1} actúa \overrightarrow{v_{1}} y en P_{2} actúa \overrightarrow{v_{2}}.
2. Defino aceleración media: \overrightarrow{a_{m}}=\dfrac{\overrightarrow{\Delta v}}{\Delta t}, con \overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}. Como \Delta t>0, \overrightarrow{a_{m}} tiene la misma dirección y sentido que \overrightarrow{\Delta v}.
3. Obtengo el vector diferencia por suma de vectores: \overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_{2}}+(-\overrightarrow{v_{1}}); gráficamente: se coloca \overrightarrow{v_{1}}, se invierte (-\overrightarrow{v_{1}}) y se suma a \overrightarrow{v_{2}} con la regla del triángulo.
4. Caso II cuadrante (componente x negativa, y positiva): elijo \overrightarrow{v_{1}}=(4,\;1)\;\text{m/s} y \overrightarrow{v_{2}}=(1,\;4)\;\text{m/s}.
   • \overrightarrow{\Delta v}=(1-4,\;4-1)=(-3,\;3)\;\text{m/s}, con \Delta v_{x}<0 y \Delta v_{y}>0 → II cuadrante.
   • Con \Delta t=2\;\text{s}: \overrightarrow{a_{m}}=\left(\frac{-3}{2},\;\frac{3}{2}\right)=(-1,5,\;1,5)\;\text{m/s}^{2}.
5. Caso IV cuadrante (componente x positiva, y negativa): elijo \overrightarrow{v_{1}}=(1,\;4)\;\text{m/s} y \overrightarrow{v_{2}}=(4,\;1)\;\text{m/s}.
   • \overrightarrow{\Delta v}=(4-1,\;1-4)=(3,\;-3)\;\text{m/s}, con \Delta v_{x}>0 y \Delta v_{y}<0 → IV cuadrante.
   • Con \Delta t=2\;\text{s}: \overrightarrow{a_{m}}=(1,5,\;-1,5)\;\text{m/s}^{2}.
6. Descripción de la gráfica: ejes x, y; curva de trayectoria con P_{1} y P_{2}; vectores \overrightarrow{r_{1}} y \overrightarrow{r_{2}} desde el origen; flecha \overrightarrow{v_{1}} tangente en P_{1} y \overrightarrow{v_{2}} tangente en P_{2}; a la derecha, el triángulo vectorial formado por \overrightarrow{v_{1}}, \overrightarrow{v_{2}} y \overrightarrow{\Delta v}=\overrightarrow{v_{2}}-\overrightarrow{v_{1}}, cuya punta apunta hacia arriba-izquierda (II cuadrante) o hacia abajo-derecha (IV cuadrante) según los valores elegidos.