Ejercicio 34
Parte a) (recuadros): escribir la ecuación vectorial posición de Leonel Messi y de Cristiano Ronaldo. Parte b): establecer y justificar si es factible un tiro libre a heta = 10^\circ que supere una barrera cuyo tope, al saltar, es de 3 \\, \text{m}.
Parte 34.a
Ecuación vectorial posición (ambos jugadores)
- Modelo: movimiento parabólico en el plano vertical. Ejes: x horizontal (hacia la portería) e y vertical (hacia arriba), origen en el punto de contacto balón–pie.
- Única fuerza: peso (se desprecia rozamiento/efecto Magnus). Aceleración: \vec{a}(t) = 0\,\hat{i} + (-g)\,\hat{j}, \qquad g = 9{,}8 \\, \text{m/s}^{2}
- Velocidad: se integra una vez, con \vec{v}(0) = v_0\cos\theta\,\hat{i} + v_0\sen\theta\,\hat{j}: \vec{v}(t) = (v_0\cos\theta)\,\hat{i} + (v_0\sen\theta - gt)\,\hat{j}
- Posición: se integra de nuevo con \vec{r}(0) = 0: \boxed{\vec{r}(t) = (v_0\cos\theta\, t)\,\hat{i} + \left(v_0\sen\theta\, t - \tfrac{1}{2}g t^{2}\right)\,\hat{j}}, \qquad 0 \le t \le t_{a}
- Ecuación vectorial para Leonel Messi (con sus datos v_{0M} y \theta_M de la página anterior): \vec{r}_{M}(t) = \left(v_{0M}\cos\theta_M\, t\right)\hat{i} + \left(v_{0M}\sen\theta_M\, t - 4{,}9\,t^{2}\right)\hat{j}
- Ecuación vectorial para Cristiano Ronaldo (con sus datos v_{0R} y \theta_R): \vec{r}_{R}(t) = \left(v_{0R}\cos\theta_R\, t\right)\hat{i} + \left(v_{0R}\sen\theta_R\, t - 4{,}9\,t^{2}\right)\hat{j}
- Forma componente y ecuación de trayectoria (evidencia de que es una parábola): x = v_0\cos\theta\, t \Rightarrow t = \frac{x}{v_0\cos\theta}, \qquad y = x\tan\theta - \frac{g\,x^{2}}{2v_0^{2}\cos^{2}\theta}
Respuesta
\vec{r}(t) = (v_0\cos\theta\, t)\hat{i} + (v_0\sen\theta\, t - \tfrac{1}{2}gt^{2})\hat{j}, particularizada con los v_0 y \theta de cada jugador.
Parte 34.b
¿Es factible un tiro libre a $10^\circ$ que supere una barrera de $3 \\, \text{m}$?
- Condición mínima: el techo de la trayectoria debe alcanzar al menos la altura de la barrera, h_{\max} = \frac{v_0^{2}\sen^{2}\theta}{2g} \ge 3 \\, \text{m}
- Despejo de la velocidad mínima con \theta = 10^\circ (\sen 10^\circ = 0{,}1736, \sen^{2}10^\circ = 0{,}03015): v_{0,\min} = \sqrt{\frac{2g h_{\max}}{\sen^{2}\theta}} = \sqrt{\frac{2(9{,}8)(3)}{0{,}03015}} = \sqrt{1950} \approx 44{,}2 \\, \text{m/s}
- Conversión: 44{,}2 \\, \text{m/s} = 44{,}2 \times 3{,}6 = 159 \\, \text{km/h}, muy por encima de la velocidad de un tiro libre realista (25–35 m/s).
- Verificación con un valor típico, v_0 = 30 \\, \text{m/s}: h_{\max} = \frac{(30)^{2}(0{,}03015)}{2(9{,}8)} = \frac{27{,}14}{19{,}6} \approx 1{,}38 \\, \text{m} < 3 \\, \text{m}
- Además, la altura en el instante de cruce de la barrera (barrera a d \approx 9{,}15 \\, \text{m}) es menor aún: t = d/(v_0\cos\theta) = 9{,}15/(30\cdot 0{,}9848) \approx 0{,}31 \\, \text{s}, y(0{,}31) = 30(0{,}1736)(0{,}31) - 4{,}9(0{,}31)^{2} \approx 1{,}62 - 0{,}47 = 1{,}15 \\, \text{m}
- Conclusión: con 10^\circ la componente vertical del lanzamiento (v_{0y} = v_0\sen 10^\circ \approx 5{,}2 \\, \text{m/s} a 30 m/s) es demasiado pequeña para elevar el balón 3 m.
Respuesta
No es factible: se requeriría v_0 \ge 44{,}2 \\, \text{m/s} (≈159 km/h), imposible en un tiro libre; con velocidades reales la altura máxima queda por debajo de 3 \\, \text{m}.
