Continuación de un problema cinemático: un avión vuela entre Manhattan, Lincoln, Clarinda y St. Joseph. Las distancias y direcciones de cada tramo se entregan en la página anterior; aquí se aplican el método de componentes y los vectores velocidad y aceleración.
Uso el método de componentes para calcular la distancia que debe volar para regresar a Lincoln desde Manhattan.
- El trayecto de regreso (Lincoln → Manhattan) es el opuesto al de ida (Manhattan → Lincoln), por lo que su vector desplazamiento es \vec{d}_{\text{reg}} = -\vec{d}_{\text{ida}}.
- Descompongo el vector de ida en componentes ortogonales (eje x: este; eje y: norte), con \theta el ángulo que forma la dirección Manhattan → Lincoln medido desde el eje x: d_{x} = d\cos\theta, \qquad d_{y} = d\sin\theta
- Al invertir el sentido, las componentes del regreso cambian de signo: d_{x,\text{reg}} = -d_{x} = -d\cos\theta, \qquad d_{y,\text{reg}} = -d_{y} = -d\sin\theta
- Aplico el teorema de Pitágoras para obtener el módulo (la distancia recorrida): D = \sqrt{d_{x,\text{reg}}^{2} + d_{y,\text{reg}}^{2}} = \sqrt{(-d\cos\theta)^{2} + (-d\sin\theta)^{2}} = \sqrt{d^{2}(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta)} = d
- Dirección del regreso: \theta_{\text{reg}} = \arctan\!\left(\dfrac{d_{y,\text{reg}}}{d_{x,\text{reg}}}\right) = \theta + 180^{\circ} (opuesta a la de ida).
la distancia de regreso es D = \sqrt{d_{x,\text{reg}}^{2} + d_{y,\text{reg}}^{2}} = d, es decir, igual a la de ida, y su dirección es exactamente la opuesta (\theta + 180^{\circ}). El valor numérico se obtiene al sustituir d y \theta del recorrido dados en la página anterior.
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Represento el vector velocidad: módulo constante de 150 km/h en el trayecto de Lincoln → Clarinda, con la misma dirección y sentido del movimiento.
- Un vector queda definido por módulo, dirección y sentido. Módulo: |\vec{v}| = 150 \, \text{km/h}.
- Dirección y sentido: coinciden con los del desplazamiento Lincoln → Clarinda, cuyo ángulo es \theta_{LC}.
- Componentes: v_{x} = 150\cos\theta_{LC} \, \text{km/h}, \qquad v_{y} = 150\sin\theta_{LC} \, \text{km/h}
- Representación: \vec{v} = 150\cos\theta_{LC}\,\hat{i} + 150\sin\theta_{LC}\,\hat{j} (en km/h), dibujado como una flecha de longitud proporcional a 150 km/h que parte de Lincoln hacia Clarinda.
- Como módulo, dirección y sentido son constantes (movimiento rectilíneo uniforme): \vec{a} = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} = \vec{0}
\vec{v} = 150 \, \text{km/h} en la dirección y sentido Lincoln → Clarinda, con componentes v_{x} = 150\cos\theta_{LC} y v_{y} = 150\sin\theta_{LC}; la aceleración en este tramo es \vec{a} = \vec{0}.
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El avión acelera constantemente con módulo de 1 km/h por unidad de tiempo, en la dirección y sentido de la velocidad, de Clarinda a St. Joseph. Calculo el vector velocidad final y la aceleración.
- La aceleración tiene la misma dirección y sentido que \vec{v}, por eso el movimiento es rectilíneo uniformemente acelerado (el avión no cambia de rumbo, solo aumenta de velocidad).
- Vector unidad en la dirección del movimiento: \hat{u} = \cos\theta_{CS}\,\hat{i} + \sin\theta_{CS}\,\hat{j}, con \theta_{CS} la dirección Clarinda → St. Joseph.
- Aceleración: \vec{a} = a\,\hat{u} = 1\,\text{km/h}^{2}\left(\cos\theta_{CS}\,\hat{i} + \sin\theta_{CS}\,\hat{j}\right) (módulo a = 1 \, \text{km/h}^{2}, es decir 1 km/h ganados por cada hora de vuelo).
- Velocidad inicial en Clarinda: \vec{v}_{i} = 150\cos\theta_{CS}\,\hat{i} + 150\sin\theta_{CS}\,\hat{j}.
- Velocidad final tras un tiempo t (en horas): \vec{v}_{f} = \vec{v}_{i} + \vec{a}\,t Módulo: v_{f} = v_{i} + a\,t = 150 + 1\cdot t = (150 + t) \, \text{km/h}.
- Componentes de \vec{v}_{f}: v_{fx} = (150 + t)\cos\theta_{CS}, \qquad v_{fy} = (150 + t)\sin\theta_{CS} El módulo crece linealmente con el tiempo y la dirección permanece constante.
\vec{a} = 1 \, \text{km/h}^{2} en la dirección y sentido del movimiento Clarinda → St. Joseph, y \vec{v}_{f} = (150 + t) \, \text{km/h} en esa misma dirección, con componentes v_{fx} = (150+t)\cos\theta_{CS} y v_{fy} = (150+t)\sin\theta_{CS}.
