Determinar la ecuación del movimiento de la velocidad de forma vectorial en dos dimensiones para ambos jugadores (Ronaldo 119 km/h, Messi 95 km/h, 13°).

v_Ron(t)=32,21 i+(7,44-9,8t)j; v_Mes(t)=25,71 i+(5,94-9,8t)j

Libro de Física 2 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Ecuaciones vectoriales de posición y velocidad: tiros libres de Ronaldo y Messi

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Ronaldo: r⃗(t) = (32,21 t) î + (7,44 t − 4,9 t²) ĵ; v⃗(t) = 32,21 î + (7,44 − 9,8 t) ĵ. Messi: v⃗(t) = 25,71 î + (5,94 − 9,8 t) ĵ (m, m/s).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 6 min lectura

Solución — Página 34

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

Escribir la ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo, con ángulo de lanzamiento de $13^\circ$ y velocidad de lanzamiento de $119 \, \text{km/h}$ .

Convertir la velocidad a unidades SI: $v_0 = 119 \, \text{km/h} \times \frac{1 \, \text{m/s}}{3{,}6 \, \text{km/h}} = 33{,}06 \, \text{m/s}$
Descomponer el vector velocidad inicial en sus componentes: $v_{0x} = v_0 \cos 13^\circ = 33{,}06 \times 0{,}9744 = 32{,}21 \, \text{m/s}$ $v_{0y} = v_0 \sin 13^\circ = 33{,}06 \times 0{,}2249 = 7{,}44 \, \text{m/s}$
Aplicar la ecuación vectorial de posición del tiro parabólico (origen en el punto de lanzamiento, $g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}$ hacia abajo): $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + \vec{v}_0 t + \frac{1}{2}\vec{g}t^{2}$
Sustituir componentes (con $\hat{i}$ horizontal y $\hat{j}$ vertical): $\vec{r}(t) = (32{,}21\,t)\,\hat{i} + \left(7{,}44\,t - 4{,}9\,t^{2}\right)\hat{j}$

Respuesta

$\vec{r}(t) = (32{,}21\,t)\,\hat{i} + (7{,}44\,t - 4{,}9\,t^{2})\,\hat{j}$ (en m, con $t$ en s).

Ejercicio 2

Determinar la ecuación del movimiento de la velocidad de forma vectorial para el movimiento en dos dimensiones, para ambos jugadores, usando $\overrightarrow{V_f} = \overrightarrow{V_o} + \vec{g}*t$ , ángulo de tiro libre aproximado de $13^\circ$ , $v_{0,\text{Ronaldo}} = 119 \, \text{km/h}$ y $v_{0,\text{Messi}} = 95 \, \text{km/h}$ .

Parte 2.a

Cristiano Ronaldo

Velocidad inicial en SI: $v_0 = 119/3{,}6 = 33{,}06 \, \text{m/s}$ .
Componentes: $v_{0x} = 33{,}06\cos 13^\circ = 32{,}21 \, \text{m/s}, \qquad v_{0y} = 33{,}06\sin 13^\circ = 7{,}44 \, \text{m/s}$
Vector gravedad: $\vec{g} = -9{,}8\,\hat{j} \, \text{m/s}^{2}$ .
Sustituir en $\vec{v}_f = \vec{v}_0 + \vec{g}\,t$ : $\vec{v}(t) = (32{,}21\,\hat{i} + 7{,}44\,\hat{j}) + (-9{,}8\,\hat{j})t$

Respuesta

$\vec{v}(t) = 32{,}21\,\hat{i} + (7{,}44 - 9{,}8\,t)\,\hat{j} \; (\text{m/s})$

Parte 2.b

Lionel Messi

Velocidad inicial en SI: $v_0 = 95/3{,}6 = 26{,}39 \, \text{m/s}$ .
Componentes: $v_{0x} = 26{,}39\cos 13^\circ = 25{,}71 \, \text{m/s}, \qquad v_{0y} = 26{,}39\sin 13^\circ = 5{,}94 \, \text{m/s}$
Sustituir en $\vec{v}_f = \vec{v}_0 + \vec{g}\,t$ : $\vec{v}(t) = (25{,}71\,\hat{i} + 5{,}94\,\hat{j}) + (-9{,}8\,\hat{j})t$

Comprobación: en $t = 0$ , $\vec{v}(0) = \vec{v}_0$ en ambos casos; la componente horizontal es constante y la vertical disminuye $9{,}8 \, \text{m/s}$ cada segundo, como exige la gravedad.

Respuesta

$\vec{v}(t) = 25{,}71\,\hat{i} + (5{,}94 - 9{,}8\,t)\,\hat{j} \; (\text{m/s})$

Contenido de la página

• La ecuación vectorial posición para Cristiano Ronaldo.

[Recuadro para escribir la ecuación]

b) Determino la ecuación del movimiento de la velocidad de forma vectorial para el movimiento en dos dimensiones, para ambos jugadores.

Parámetro	Valor
Ecuación	$\overrightarrow{V_f}=\overrightarrow{V_o}+\vec{g}*t$
Ángulo de disparo	Para un tiro libre aproximado de $13^\circ$
Velocidad de lanzamiento	Ronaldo: $119 \, \text{km/h}$ ; Messi: $95 \, \text{km/h}$

Texto de Física — página 33 (libro BGU-2 Física 2024, Ecuador).

Ejemplos resueltos

Obtener las componentes de la velocidad inicial de Ronaldo (119 km/h, 13°).

$v_0 = 33{,}06\,\text{m/s}$ ; $v_{0x}=33{,}06\cos13^\circ = 32{,}21\,\text{m/s}$ ; $v_{0y}=33{,}06\sin13^\circ = 7{,}44\,\text{m/s}$ .

Tabla

Parámetro	Valor
Ecuación	$\overrightarrow{V_f}=\overrightarrow{V_o}+\vec{g}*t$
Ángulo de disparo	Para un tiro libre aproximado de $13^\circ$
Velocidad de lanzamiento	Ronaldo: $119 \, \text{km/h}$ ; Messi: $95 \, \text{km/h}$

Fórmulas y ecuaciones

$\overrightarrow{V_f}$ = $\overrightarrow{V_o}$ + $\vec{g}$ *t

$\vec{r}$ (t) = $(v_0\cos\theta)\,t\$ , $\hat{i}$ + $\left(v_0\sin\theta\,t$ - $\tfrac{1}{2}$ g $t^{2}\right)$ $\hat{j}$

$\vec{r}$ (t) = $\vec{r}$ _0 + $\vec{v}$ _0 t + $\frac{1}{2}@@MATH_0@@t^{2}$

$\vec{v}$ _f = $\vec{v}$ _0 + $\vec{g}$ $\,t$

$v_{0x}$ = $v_0$ $\cos\theta$ , $\quad$ $v_{0y}$ = $v_0$ $\sin\theta$

119 $\$ , $\text{km/h}$ = 33{,}06 $\$ , $\text{m/s}$ , $\quad$ 95 $\$ , $\text{km/h}$ = 26{,}39 $\$ , $\text{m/s}$

Glosario (4)

Ecuación vectorial de posición: Expresa la posición de un cuerpo en función del tiempo: r⃗(t) = r⃗₀ + v⃗₀t + ½ g⃗t².
Ecuación vectorial de velocidad: Relaciona la velocidad final con la inicial y la aceleración: v⃗f = v⃗₀ + g⃗t.
Tiro parabólico: Movimiento de un proyectil con velocidad inicial en ángulo, afectado solo por la gravedad.
Componentes de un vector: Proyecciones del vector sobre los ejes x e y, obtenidas con seno y coseno.

Preguntas para practicar

¿Por qué la componente horizontal de la velocidad no cambia en el tiro libre?

Porque se desprecia la resistencia del aire y no existe fuerza horizontal: la única aceleración es la gravedad, vertical, por lo que v_x = v_0 cos θ se mantiene constante durante todo el vuelo.

¿Qué jugador llegará más lejos y por qué?

Ronaldo, porque con el mismo ángulo de 13° tiene mayor velocidad inicial (33,06 m/s frente a 26,39 m/s), lo que aumenta tanto el alcance como el tiempo de vuelo.

Temas y conceptos clave

Movimiento en dos dimensionesEcuaciones vectoriales de posición y velocidadTiro parabólico aplicado a un tiro libre de fútbolvector posiciónvector velocidadaceleración de la gravedadcomponentes cartesianasángulo de lanzamientotiro parabólico

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