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Ecuación de la posición, rapidez y altura total de un cuerpo en caída/movimiento

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

a) $y(t)=y_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^{2}$ . b) $v=|\sqrt{v_0^{2}-2g(22{,}7-y_0)}|\;\text{m/s}$ . c) Altura total $=y_0$ (la altura inicial sobre el piso, tomado como origen en $y=0$ ).

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 5 min lectura

Solución — Página 76

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 1

(parte a)

Determino la ecuación general de la posición en función del tiempo.

Se define el eje vertical $y$ con origen en el piso y sentido positivo hacia arriba.
En un movimiento vertical con aceleración constante (caída libre o tiro vertical, $a=-g$ ), la ecuación general de la posición se integra desde el estado inicial $(y_0,\; v_0)$ en $t=0$ : $v(t)=v_0-g\,t$ $y(t)=y_0+v_0\,t-\tfrac{1}{2}\,g\,t^{2}$
Sustituyendo los datos iniciales de la situación (altura de lanzamiento $y_0$ y rapidez inicial $v_0$ ), con $g=9,8\;\text{m/s}^{2}$ (o $g\approx10\;\text{m/s}^{2}$ si así lo indica el libro), se obtiene la forma específica, por ejemplo: $\boxed{y(t)=y_0+v_0\,t-4,9\,t^{2}}$
Esta es una parábola de la forma $y(t)=at^{2}+bt+c$ con $a=-\tfrac{g}{2}<0$ : la gráfica $y$ vs. $t$ es una parábola cóncava hacia abajo, lo que confirma un cuerpo que sube y luego desciende.

Respuesta

$y(t)=y_0+v_0\,t-\dfrac{1}{2}g\,t^{2}$ , con $y_0$ la altura inicial y $v_0$ la rapidez inicial (ambos según el enunciado de la página anterior).

Ejercicio 2

(parte b)

Indico cuál sería la rapidez en el punto $y=22,7\;\text{m}$ .

Se aplica la relación independiente del tiempo entre posición y rapidez: $v^{2}=v_0^{2}-2g\,(y-y_0)$
Se sustituye $y=22,7\;\text{m}$ : $v^{2}=v_0^{2}-2\,(9,8)\,(22,7-y_0)$
Se extrae la raíz cuadrada (la rapidez es el módulo, siempre positivo): $v=\left|\,\sqrt{v_0^{2}-19,6\,(22,7-y_0)}\,\right|$
Si el argumento de la raíz da negativo, significa que el cuerpo no alcanza esa altura y la pregunta no tiene solución física; si es positivo, hay DOS instantes posibles (uno subiendo y otro bajando) en los que $y=22,7\;\text{m}$ .

Respuesta

$v=\sqrt{v_0^{2}-2g(22,7-y_0)}\;\text{m/s}$ (valor numérico según los datos iniciales del problema).

Ejercicio 3

(parte c)

Indico cuál sería la altura total hasta el piso. Justifico mi respuesta.

Se toma el piso como origen del eje vertical, es decir, $y_{\text{piso}}=0$ .
El cuerpo parte de la altura inicial $y_0$ ; por lo tanto la distancia vertical total entre su punto de partida y el piso es: $\Delta y=y_0-0=y_0$
Justificación: si el cuerpo fue lanzado (o soltado) desde la altura $y_0$ y el piso está en $y=0$ , su recorrido vertical completo es de $y_0$ metros, ya que no hay ninguna altura intermedia que sumar o restar: la posición inicial mide exactamente esa distancia sobre el suelo.
Si además se pregunta cuándo llega al piso, se resuelve $y(t)=0$ : $y_0+v_0\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}=0\;\Longrightarrow\;t=\frac{v_0\pm\sqrt{v_0^{2}+2gy_0}}{g}$ Se toma la solución positiva $t=\dfrac{v_0+\sqrt{v_0^{2}+2gy_0}}{g}$ .

Nota: los valores numéricos exactos ( $y_0$ y $v_0$ ) aparecen en la página anterior del problema, que no forma parte de esta imagen; por eso la solución se presenta en forma general con la sustitución explícita de cada dato.

Respuesta

la altura total hasta el piso es igual a la altura inicial de lanzamiento, $y_0$ metros (medida desde el piso hasta el punto de partida del cuerpo).

Contenido de la página

Continuación del ejercicio (espacios para resolver)

a) Determino la ecuación general de la posición en función del tiempo.

b) Indico cuál sería la rapidez en el punto $y=22{,}7\;\text{m}$ .

c) Indico, ¿cuál sería la altura total hasta el piso? Justifico mi respuesta.

La página está destinada al desarrollo del estudiante en cuadrícula; los datos iniciales ( $y_0$ y $v_0$ ) se entregan en la página anterior del problema.

Ejemplos resueltos

Un cuerpo parte desde $y_0=30\;\text{m}$ con $v_0=5\;\text{m/s}$ hacia arriba. ¿Cuál es su rapidez en $y=22{,}7\;\text{m}$ ?

Sustituyo en $v^{2}=v_0^{2}-2g(y-y_0)$ : $v^{2}=5^{2}-2(9{,}8)(22{,}7-30)$ . 2. Calculo la diferencia de alturas: $22{,}7-30=-7{,}3\;\text{m}$ . 3. Multiplico: $v^{2}=25-2(9{,}8)(-7{,}3)=25+143{,}08=168{,}08$ . 4. Extraigo la raíz: $v=\sqrt{168{,}08}\approx 12{,}96\;\text{m/s}$ . Como el punto está por debajo de la altura máxima, la rapidez es aproximadamente $13\;\text{m/s}$ .

Tabla

Magnitud	Expresión general	Observación
Aceleración	$a=-g=-9{,}8\;\text{m/s}^{2}$	Constante, hacia abajo
Rapidez	$v(t)=v_0-g\,t$	Cero en la altura máxima
Posición	$y(t)=y_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^{2}$	Parábola cóncava hacia abajo
Rapidez vs. posición	$v^{2}=v_0^{2}-2g(y-y_0)$	No depende del tiempo
Tiempo hasta el piso	$t=\frac{v_0+\sqrt{v_0^{2}+2gy_0}}{g}$	Solución positiva
Altura total al piso	$H=y_0$	Piso tomado como origen ( $y=0$ )

Diagrama

graph TD
  A[Datos iniciales y0 y v0] --> B[Ecuacion de posicion y(t) = y0 + v0 t - 1/2 g t^2]
  B --> C{Analisis grafico}
  C -->|Parabola, a = -g/2 < 0| D[Sube hasta la altura maxima]
  D --> E[Desciende hasta el piso y = 0]
  A --> F[Relacion v^2 = v0^2 - 2g(y - y0)]
  F --> G[Rapidez en y = 22,7 m]
  E --> H[Altura total = y0]

Fórmulas y ecuaciones

$y(t)=y_0+v_0t-\dfrac{1}{2}gt^{2}$ — ecuación general de la posición vertical

$v^{2}=v_0^{2}-2g(y-y_0)$ — rapidez en función de la posición

$y(t)=y_0+v_0\,t-@@MATH_0@@g\,t^{2}$

$v(t)=v_0-g\,t$

$v^{2}=v_0^{2}-2g\,(y-y_0)$

t= $\frac{v_0+\sqrt{v_0^{2}+2g\,y_0}}{g}$

Glosario (5)

MRUV: Movimiento con aceleración constante; en el vertical la aceleración es $\vec{a}=\vec{g}$, hacia el centro de la Tierra.
Ecuación de posición: Función $y(t)$ que da la ubicación del cuerpo en cada instante.
Rapidez: Módulo de la velocidad; magnitud siempre positiva.
Altura de lanzamiento: Altura inicial $y_0$ sobre el nivel de referencia (el piso).
Aceleración de la gravedad: Casi constante sobre la superficie terrestre: $g\approx 9{,}8\;\text{m/s}^{2}$.

Preguntas para practicar

¿Por qué la ecuación de la posición es una parábola?

Porque la posición es cuadrática en el tiempo, $y(t)=y_0+v_0t-\frac{1}{2}gt^{2}$; el término en $t^{2}$ proviene de que la aceleración es constante, y su signo negativo hace que la parábola sea cóncava hacia arriba, reflejando la subida y posterior caída del cuerpo.

¿Qué significa que la rapidez sea el módulo de la velocidad?

Significa que la rapidez toma solo el valor numérico positivo: al subir la velocidad es positiva y al bajar es negativa, pero en ambos casos la rapidez es igual en magnitud para la misma altura.

Temas y conceptos clave

Movimiento vertical uniformemente variado (MRUV)Ecuación de posición en función del tiempoRelación entre rapidez y posiciónAltura máxima y altura de lanzamientoMRUVecuación de posiciónrapidezgravedadcaída libreparábola en la gráfica y(t)origen del eje vertical